补码(为什么按位取反再加一)：告诉你一个其实很简单的问题

Posted 2020-10-16 zg_hobby

　　首先，阅读这篇文章的你，肯定是一个在网上已经纠结了很久的读者，因为你查阅了所有你能查到的资料，然后他们都会很耐心的告诉你，补码：就是按位取反，然后加一。准确无误，毫无破绽。但是，你搜遍了所有俯拾即是而且准确无误的答案，却仍然选择来看这篇毫不起眼的文章，原因只有一个，只因为你还没有得到你想要的东西。

　　因为你想要的，不是1+1=2，而是，1+1为什么等于2。当然，我们不讨论1+1的问题。我们讨论的，是补码。

       你已经困惑了很久，你明明知道补码就是按位取反，然后加一，但是你想知道的，不是它怎么求滴，而是，它怎来滴。当然，对于阅读这篇文章的你，既然想要知道这个答案，一定是有一定编程基础的读者，肯定知道补码与有符号数与无符号数的关系（有符号数指带有正负号的数，无符号可以理解为只大于0的数），你所查阅的所有资料首先都会用一个8位的二进制数给你举例，ok，我们也用一个8位的二进制数。

　　8位二进制数，最小00000000，最大数11111111，换算十进制为0~255，当然，所有的参考资料都会这样讲，而且这也不是你想要的，但我们必须说下去。1~255，一共255的字符，再加上最前面的0，一共256个字符。现在，我们要用一个8位二进制数字来表示一个负数，可是二进制里没有负号，谁都知道二进制里只有0,1，再无其他符号。那么所以我们必须用一种方式来代替正负，也就是我们规定，当然是人规定的，而不是电脑，我们规定这个8位的二进制数的最前面一位数来表示这个数的正负，0代表是正，1代表是负。那么当第一位是0时，我们一共可以表示00000000~01111111这么多正数，因为第一位必须是0来代表正数；当第一位是1时，我们一共可以表示10000000~11111111这么多负数，然后，我们用00000000~01111111来代表0~127，那岂不是10000000~11111111代表  -0  ~  -127？？可是网上都说不能有 负0，可是我觉的没什么不妥啊，负0不还是0 吗？10-0=10，不就是相当于10+（-0）=10吗，现在我们不讨论正负0的问题，我们来讨论一个小学生的问题。

　　我们现在要把00000000~11111111分成两组数，一组是正数，另一组是负数，正数是0,1,2,3,4,5,6,7,8，… 负数是 -1，-2，-3，-4，-5，-6，-7，-8，… 那么这里就有一个小学问题，那就是1+（-1）肯定要等于0，2+（-2）=0，他们是相反数，相加等于0，小学生都会。后面都是一样，那么现在我们使用上面的编码的方式进行一个计算，现在上面的编码中 1 对应的二进制是00000001，-1对应的二进制是10000001，然后你把这俩二进制数加起来，看看等于几，对，答案是10000010，不是00000000，也不是10000000,  10000010在上面的编码中代表 -2，00000000和10000000都在上面代表0，可是结果并不是他们。而00000001与10000001分别对应着1和-1，加起来理论的结果应该是0才对，也就是说上面的编码是错误的。

　　或许接下来很多资料又讨论了反码，但是我们不，我们来求一个一元一次函数，一个小学的函数，1+x=0,求x=？,答：-1。没错，而且准确无误。那么现在问题来了，前面的正数编码应该是没有错的，00000000代表0,  00000001代表1，这些都符合我们的习惯，那么出错的是在后面的负数编码上，我们到底该如何编码对应负数编码它才能正确呢，因为我们知道1+（-1）必须等于0，也就是他们对应的二进制相加也必须等于0，1对应00000001，那么00000001+x=00000000，里面的x就应该代替 -1的二进制编码才对，这样，我们得到 x=11111111，大家看一下这和按位取反，然后加一的结果一样吗。

　　所以我们的结论是，一个正数对应的负数（也就是俩相反数），这两个数的二进制编码加起来必须等于0才对，所以我们只要知道其中一个数的编码x，然后用0-x就是他对应的数的编码，这样的话，从0~127，我们用（0 - 其中一个二进制数的编码）=（另一个二进制数的编码），例如 2 的二进制编码是00000010，那么-2 的二进制编码就是0 - 00000010=11111110，因为他就应该这样，因为它就是一个小学问题，他俩加起来就应该等于0。那么1000000对应的编码是多少呢，当然也必须满足加起来等于0才行，那么10000000+x=0，求解x，答x=10000000，还是它本身，也就是在00000000~11111111这个范围里所有的二进制数都无法满足它，也就是没有一个数加上它等于0，但是两个数要有对应的编码，就必须加起来等于0才行，其实不止它没有，0也没有，0+x=0，那么x=0，也是它本身，既然这样了，那么也没有办法了，无可奈何只能做单身汉了，然后我们规定，既然10000000第一位是1，代表负数，那么我们规定它是一个负数，那么10000000就代替了-128，而且，它只自己一个人，也就是只有-128，没有正数128。

　　然后，他们每个数都有了自己对应的编码，而且准确无误。1~127对应-1~ -127，再加上两个单身汉0和-128。然后呢，不知道谁起的名字，就把这种编码叫做了补码，如果你乐意，你也可以给它起个名字。但是呢，还有一个问题，为什么补码的求法是按位取反再加一呢，其实当你不明白为什么各大书籍都要用按位取反来计算补码的时候，我们完全可以直接用0减去它就得到他相反数的二进制编码了，譬如随便一个十六进制数 6C ，那么我们可以直接0-6C就得到他的相反数的补码了，结果为十六进制的94，跟按位取反再加一的效果一样。

　　现在我们知道补码是怎么来的了，也就是为了保证两个相反数对应二进制的和必须是0，然后又不知道谁给它起了补码这个名字。补码补码，有没有感觉两个相反数是互补的呢，也就是任意两个相反数加起来一定等0，其中一个数变大，另一个就一定会变小互补保证结果为0。但是你肯定还在纠结，为啥要按位取反，为啥还要加一呢。其实，这涉及到一个二进制减法的问题，你既然知道补码这个概念，就一定会知道有进位丢失这么个东西。现在我们知道了补码是怎么来的，也就是（00000000 - 其中一个正数的补码）=（这个数相反数的补码），那么我们知道了1的二进制是00000001，那么我们来求-1的补码，也就是应该00000000 - 00000001=？，我们该怎么计算这个二进制减法呢，而且还是一个小数减去大数，连借位都没地方借，前面我们提到进位丢失这个东西，那么我们来计算一个算式，11111111+00000001=？知道进位丢失的你，肯定知道加起来后等于00000000，虽然结果应该是100000000（后面是8个0），但是只能有8位，所以最高位的1丢失了，那么现在好了，也就是说，我们可以把00000000看做（11111111+00000001）因为他俩是相等的，我们已经计算过的了，那么我们现在就可以把前面讲的公式中的00000000换成（11111111+00000001），也就是我们要计算-1的补码，我们就0-1的编码，也就是00000000-00000001，也就是（11111111+00000001）-00000001=(-1的补码)，这个算式我觉的你应该会计算了，大数减小数，到现在，或许你现在已经发现什么了，是的，你发现了之前一直迷惑你的一个东西，“按位取反再加一”，但是可能还有一点迷惑，我们继续，因为我们每次都是用一个0减去一个数的补码来得到另一个数的补码，也就是里面的（11111111+00000001）是不变的，因为它就是0，那么我们现在要求一个数的补码，就是（11111111+00000001）- 一个数的补码=它相反数的补码，咱们把括号去掉，也就是11111111 - 一个数的补码+00000001=它相反数的补码，这是加法交换法则，只是把位置交换一下，小学生都会的，然后呢再加个括号方便我们理解，也就是（1111111 - 一个数的补码）+00000001=它相反数的补码。好了，问题来了，（11111111 - 一个数的补码）的结果是什么，这个你心里应该是清楚的，你也可以算一下，它正好的等于它的反码，也就是按位取反的一个数，其实也好理解，你减几个数就看见规律了，描述好麻烦，现在好了，也就是（11111111 - 一个数的补码）=这个数的反码，也就是（11111111 - 一个数的补码）=把这个数按位取反，到现在，你应该你已经很清楚他是怎么来的了。

　　那么我们现在就可以把公式写成这样，（11111111 - 一个数的补码）+00000001=它相反数的补码，现在我们知道了（11111111 - 一个数的补码）=把这个数按位取反，然后把公式里的（11111111 - 一个数的补码）换成 “按位取反”，也就是 （按位取反）+000000001=它相反数的补码，现在，按位取反，再加一，就终于出来了，这就是各大书籍资料所讲的，补码=按位取反+1..。好了，真相大白

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