luogu2951 noip2017 小凯的疑惑

Posted 2020-10-16 poorpool

在考场上我们可以打表发现规律是 $ ab-a-b $ 。下面给出证明（看的网上的）。

若有正数 $ x $ 不能被 $ a $ ， $ b $ 组合出，假设 $ a>b $ ，则存在

\[ x=ap+bq=a(p-b)+b(q+a) \]

其中 $ p>0, q<0, p-b<0, q+a>0 $ 。

为什么呢？如果学过exgcd的话，很容易理解上述形式。$ (p,q) $ 是一组解的话，则 $ (p-b,q+a) $ 是最接近的另一组解。$ p>0 $ 而 $ q<0 $，我们自然想要把 $ p $ 放小一点而把 $ q $ 放大一点。然而，即使是稍微一调整，也无法满足，则 $ x $ 是拼不出的。

于是 $ 0<p<b $ ， $ -a<q<0 $，则 $ x $ 最大当 $ p=b-1 $ 且 $ q=-1 $，此时 \[ x=a(b-1)-b=ab-a-b \]
证毕。

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
long long a, b;
int main(){
    cin>>a>>b;
    cout<<a*b-a-b;
    return 0;
}