比赛NOIP2017 小凯的疑惑

Posted 2020-10-16

找规律：ans=a*b-a-b

证明：

$gcd(A, B) = 1$ → $lcm(A, B) = AB$

剩余类，把所有整数划分成$m$个等价类，每个等价类由相互同余的整数组成

任何数分成$m$个剩余类，分别为 $mk$，$mk+1$，$mk+2$，……，$mk+(m-1)$

分别记为{0(mod m)}，{1(mod m)}……

而$n$的倍数肯定分布在这$m$个剩余类中

因为$gcd(m，n)=1$，所以每个剩余类中都有一些数是$n$的倍数，并且是平均分配

设 $k_min = min { k | nk ∈ {i (mod m) } }, i ∈ [0, m)$

则 nkmin 是{i (mod m)}中n的最小倍数。特别的，nm ∈ {0 (mod m)}

nkmin 是个标志，它表明{i (mod m)}中nkmin 后面所有数，即nkmin + jm必定都能被组合出来

那也说明最大不能组合数必定小于nkmin

我们开始寻找max{ nkmin }

Lcm(m, n) = mn，所以很明显(m-1)n是最大的

因为$(m-1)n$是nkmin 中的最大值，所以在剩下的m-1个剩余类中，必定有比它小并且能被m和n组合，这些数就是(m-1)n -1，(m-1)n -2，……，(m-1)n -(m-1)

所以最大不能被组合数就是$(m-1)n -m=m*n-m-n$