hihoCoder #1343 Stable Members

Posted 2020-10-16 Pat

题目大意

给定一个 $n+1$ 个点的有向无环图，点从 $0$ 开始编号。无重边、自环，且从每个点 $u$ 都能到达 $0$ 号点。如果每条 $u\leadsto 0$ 路径（$u\ne 0$）都经过 $v$ （$v\ne 0$且$v\ne u$），则称 $u$ 是不稳定的，否则称 $u$ 稳定。求稳定点的个数。

一个错误解法

先记录我的一个错误做法。将输入的图中的边全部反向，从 $0$ 点开始 DFS。有向无环图在 DFS 的过程中不会出现回边，只有树边、前向边（forward edge）和侧向边（cross edge）。点 $u$ 稳定等价于「存在两条点不相交的 $0\leadsto u$ 路径」。而这个条件要是满足，那么必然出现连向 $u$ 的前向边或侧向边。在 DFS 的过程中，当发现有前向边或侧向边连向 $u$ 时，就检查当前这条 $0\leadsto u$ 路径和之前找到的完全由树边构成 $0\leadsto u$ 路径是否交叉，若无交叉，则 $u$ 稳定。可以通过类似 Tarjan 离线 LCA 算法的思路来判断上述两路径是否交叉，只要判断 $u$ 和 $0$ 是否在一个集合中（并查集），若在则无交叉。这个做法是错的，下面给出一个反例：

节点编号也是节点的访问顺序。

题解上的做法

这道题我没想出正解。

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仍考虑输入的图。
如果每条 $u\leadsto 0$ 路径（$u\ne 0$）都经过 $v$ （$v\ne 0$ 且 $v\ne u$），则称 $v$ 是 $u$ 的支配点（dominator）。
不难证明，支配点有下述性质：
$u$ 的支配点可能不唯一，但一定连续地分布在某条链上。这个性质根据定义很容易证明。
证明：设 $P$ 设任意一条 $u\leadsto 0$ 路径，根据定义，$u$ 的所有支配点都在 $P$ 上。将 $P$ 上的除了 $u$、$0$ 和 $u$ 的支配点之外的所有点都删除，根据定义