Tarjan算法

Posted 2020-10-16 陶无语

　　Tarjan算法用于寻找图G(V,E)中的所有强连通分量，其时间复杂度为O(|V|+|E|)。

　　所谓强连通分量就是V的某个极大子集，其中任意两个结点u,v在图中都存在一条从u到v的路径。

　　Tarjan的算法的流程是通过深度优先搜索遍历每个顶点，并且维护以下属性dfn，low，instk，p其中dfn表示该顶点第一次被访问时的次序，instk需要与一个栈stk配合使用，stk用于记录从某个顶点出发，尚未被包含进强连通分量的所有顶点，而instk用于记录一个顶点是否还存在于stk中，low表示从该结点出发可以访问到的所有在栈中的顶点中dfn属性最小的顶点的dfn值，p表示顶点所处强连通分量的代表顶点。

　　算法的流程如下：

 1 tarjan(u, stk)
 2 　　if(u.dfn != 0)
 3 　　　　return
 4 　　u.dfn = order()
 5 　　u.low = u.dfn
 6 　　u.instk = true　　
 7 　　stk.push(u)
 8 　　for (u, v) in E
 9 　　　　targin(v)
10 　　　　if(v.instk)
11 　　　　　　u.low = min(u.low, v.low)
12 　　if(u.dfn == u.low)
13 　　　　while(true)
14 　　　　　　top = stk.pop()
15 　　　　　　top.instk = false
16 　　　　　　top.p = u
17 　　　　　　if(top == u)
18 　　　　　　　　break

　　其中order()表示分配下一个次序号，要求order()方法的返回值随调用次数增加而递增，且不能少于1，可以通过维护一个计数器实现。我们需要对每个V中的顶点调用上述Tarjan流程即可保证强连通分量的正确分离。

　　说明时间复杂度，由于每个结点被访问都会设置dfn值，因此一个结点最多只会被访问一次，其4~7行总执行次数不可能超过|V|。而8~11行中每次都会使用一条完全不同的边，其总执行次数不可能超过|E|。12~18行每次循环都会令一个顶点弹出stk，由于只有4~7行会向栈中压入一个顶点，因此总执行次数不会超过|V|。因此总的时间复杂度为O(|V|+|E|)。

　　再说明算法正确性。从两个角度说明：1.任意两个连通顶点u，v都会拥有相同的p属性值，即u.p=v.p。2.任意两个不连通顶点都会拥有不同的p属性值。

　　命题1：对于栈中的元素x，y，若x.dfn<y.dfn，则x必定在y之后出栈。因为dfn属性与入栈的顺序是一致的。

　　命题2：若顶点x被加入栈中，则栈中所有现存顶点到x都有一条路径。假设当命题成立时，我们通过栈中的某个顶点y，将其后置顶点x加入到栈中，由于假设可知栈中y及y之下所有的顶点都能访问到x。对于y之上的第一个顶点z，若z不为x，则由于z在回溯到y时，没有从栈中弹出，故z.dfn>z.low，即z能访问到z之下的某个顶点，故z能访问到x。

　　命题3：当我们确定了栈中某个顶点u的low值时，在栈中u之上所有的顶点和u必定处在同一个强连通分量中。假设当栈中所有顶点满足这一性质时，我们压入顶点u，并利用深度优先搜索算法遍历u的后置顶点。当我们确定了u的low值时，若在栈中u之上还存在顶点v，不妨设v为u之上的第一个顶点，显然v.dfn>u.dfn，即v的回溯应该发生在u回溯之前，而v没有被出栈，意味着v.low<v.dfn，即v能访问到栈中某个v之下的顶点z，v和u是连通的。

　　对于1，不妨设u.dfn<v.dfn，由于v能访问到u，故v.low<=u.dfn，而由命题2知道，所有栈中v之下的顶点x都满足x.low<=v.low<=u.dfn，即v出栈时必定会导致u的出栈，故v.p=u.p。

　　对于2，当u和v被设置相同的p值时，意味着二者同时出栈。而由命题3可知u和v必定是连通的。

　　因此当我们对V中每个顶点调用Tarjan流程时，将会保证强连通分量的正确分离。