NOIP2017小结

Posted 2020-10-15

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title: NOIP2017小结
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Day2

T3

题意十分的简洁，就是需要弄个数据结构去维护一个矩阵中，删除一个位置，然后把这一行左移一个单位，再把最后一列前移一个单位。反正，我一看就觉得是线段树，直接建\(n+1\)个线段树，就可以直接搞了，二看就觉得空间分分钟炸掉。于是就没啥办法了。

\(30pts\)

考虑\(30pts\)的数据，暴力模拟就好了。

\(50pts\)

然后还有一个\(20pts\)的数据，\(q\)比较小，似乎有一种\(q^2\)的做法，反正我是不会。
但是后面还有一个\(20pts\)的数据，保证\(n=1\)，那么就好办了，直接暴力维护一个线段树，感觉会被卡常，我就写了个树状数组。其实就是这么维护的，我维护了2个树状数组，然后，一个维护现在这个位置的原编号，一个维护前缀和。然后删除一个点，就是把两个树状数组都弄个后缀修改，最后再在最后一个位置加回来就好了，一个简单的差分思想。也就是说，我们把删除的那个位置直接空余出来，然后再最后的位置上再添加信息，貌似2016年的那个蚯蚓，我考场上也是用线段树这么写的，好套路的东西啊。

\(60pts\)

既然可以维护一个\(n=1\)的特殊情况，那么\(x=1\)的，就弄4个树状数组就好了，分别是维护第一行的标号与前缀和，维护最后一列的标号与前缀和，但是有点麻烦，而且只有10分，考场上我又没时间写了。

1.把第一行的这个位置删掉，输出结果，然后把最后一列的第二行加进来。
2.把最后一列的第一行删掉，把输出的结果加到最后一列的最后一行。

可能用树状数组写的真有点麻烦，所以可以直接建2个线段树，那就好写一点了。

\(60-100pts\)

这仅仅是个思路，尽管我在想到树状数组后马上就想到了，但是由于思路很混乱，我并没敢在考场上写。
考虑一下我们在\(60\)分做法中尽管效率\(O(qlogn)\)是可以过的，但是我们的做法扩展到\(n*m\)上来就被卡空间了，所以我想了一个这种的办法：暴力分块（阔怕）
我们可以对于一行，把\(\sqrt{n}\)列化作一块，然后对于最后一列，再把\(\sqrt{n}\)行化作一块，对于一个块，我们维护2个信息：块的大小和块内的前缀和。
然后删去一个点时，我们找到这一行，然后再这一行中，用二分查找确定这个点所在的块，直接把这个点删掉，然后把最后一列的对应行的加到这一行的最后一个块中，然后把这个点加到最后一列的最后一个块中。
等等，貌似还是会被卡空间哈。因为我们没有能避免建出一个\(n*m\)的矩阵。
但是，把这个思路用到线段树中，再加一些技巧就可以A了，那就是\(100\)分做法了。

\(100pts\)

基本原理

首先有线段树做法：
线段树的问题，常常都很容易被卡空间，然后就要弄一个叫动态开点的思想，就是避免一开始把所有的数据全部都建到线段树中，而是对于每次操作，都单独进行一个点修改，同时据此建一个大小为\(logn\)的线段树，这好像也就是主席树的基本思想哈，严格来说应该叫可持久化啊，但是这也就有麻烦了，因为如果我们在这道题中不一开始就把线段树建好，我们就存在2个麻烦：

1.我们没有办法确定一个点在某一行中线段树中的具体位置，因为我们没有一开始就建好线段树，所以我们没有办法直接维护编号。
2.我们没有办法确定一个点的数值，因为我们没有一开始就建好线段树，所以我们没有办法维护一开始的数值（好熟悉的一句话），那么经过操作后就更没有办法维护了。

那么我们就单独考虑这两个麻烦。

一

我们沿用分块中维护块的大小的思想，我们在这个动态的线段树中维护一个size域，用来表示这个区间中存在的点的个数然后二分查找一下，确定询问点的位置。然后考虑一下如何在动态开点中维护一个size域。其实仔细想一下也是很简单的，如果我们这个区间之前一直没有访问过，说明这个区间内的点的个数是没有受到前面操作的影响的，那么点的个数就是区间长度了，如果这个区间是访问过得，那么我们在做删除操作的时候，size--，在做添加操作时，size++不就好了？需要注意一个细节，就是我们建的线段树应该是\(max(n,m)+q\)大小的啊，那么我们可能存在一开始就没有访问的区间，其右端点是大于\(max(n,m)\)，那么在计算初始size域的时候，就不是区间长度了，而应该这么判断：如果其左端点小于\(max(n,m)\)那么初始的size域就是m-l，如果其左端点大于\(max(n,m)\)那么初始的size域就是0，这么做可能就会存在一个问题，也就是说，如果我们在n+1的位置添加了一个点，那么n+2的size域在初始化的时候是不是就会出现问题？庆幸的是，这是不会出现的。因为如果n+1和n+2是一个区间内的，那么这个区间就是访问过得了，那么size直接++--就行了，如果不是一个区间内的，那么n+2显然是0啊，因为我们维护的是区间内的总和，而不是整个的前缀和。因为如果维护整个的前缀和，我们在修改时，就避免不了\(O(n)\)的修改。这个麻烦就差不多了。

二

然后我们考虑一下具体数值的转移，在有上面的做法基础上，我们只需要在size域初始化的同时，直接搞一个赋为(x-1)*m+y就好了啊，然后单独弄个modify过程就好了，似乎就很简单了哈。

Tips

做法可能有点绕啊，所以考场上几乎想不出来呵，即使想出来了，也不一定码的出来呵。所以要想理好思绪再写。

Some expand

然后，好像有一个更好写，更高大上的做法（但是我太弱了，并不会写）——平衡树做法：
搞一个非旋treap（好像也是可持久化数据结构啊）或者就是splay去做类似线段树的操作，那样可以节省一点空间，但是常数就很玄学了，尤其是对于这类卡常变态级的题目，Luogu的机子可以过，但是觉着CCF的老爷就很蛋疼了哈。

参考程序：

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#define rint register int
using namespace std;
typedef long long ll;
const int M=1e7+3;
const int N=3e5+5;
struct pdt{
    int L,R,sum;
    ll val;
}T[M];
int n,m,q,totn,sz,flag;
int root[N],tot[N];
inline int read(){
    rint x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<‘0‘||ch>‘9‘){if(ch==‘-‘)f=-1;ch=getchar();}
    while(‘0‘<=ch&&ch<=‘9‘)x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48),ch=getchar();
    return x*f;
}
inline int getSum(int l,int r){
    if (flag>n){
        if (r<=n)return r-l+1;
        if (l<=n)return n-l+1;
        return 0;
    }
    if (r<m)return r-l+1;
    if (l<m)return m-l;
    return 0;
}
inline ll query(int&now,int k,int l=1,int r=totn){
    if (!now){
        now=++sz;
        T[now].sum=getSum(l,r);
        if (l==r){
            if (flag>n) T[now].val=(ll)l*m;
            else T[now].val=(ll)(flag-1)*m+l;
        }
    }
    --T[now].sum;
    if (l==r)return T[now].val;
    rint mid=(l+r)>>1,tt=T[now].L?T[T[now].L].sum:(mid-l+1);
    if (k<=tt)
        return query(T[now].L,k,l,mid);
    else
        return query(T[now].R,k-tt,mid+1,r);
}
inline void modify(int&now,int k,ll v,int l=1,int r=totn){
    if (!now){
        now=++sz;
        T[now].sum=getSum(l,r);
        if (l==r)T[now].val=v;
    }
    ++T[now].sum;
    if (l==r) return;
    rint mid=(l+r)>>1;
    if (k<=mid) modify(T[now].L,k,v,l,mid);
        else modify(T[now].R,k,v,mid+1,r);
}
int main(){
    freopen("phalanx.in","r",stdin);
    freopen("phalanx.out","w",stdout);
    n=read(),m=read(),q=read();
    totn=max(n,m)+q;
    for (rint i=1;i<=q;++i){
        ll ans;
        rint x=read(),y=read();
        if (y==m) flag=n+1,ans=query(root[n+1],x);
            else flag=x,ans=query(root[x],y);
        printf("%lld\n",ans);
        flag=n+1,modify(root[n+1],n+(++tot[n+1]),ans);
        if (y!=m){
            flag=n+1,ans=query(root[n+1],x);
            flag=x,modify(root[x],m-1+(++tot[x]),ans);
        }
    }
    return 0;
}