前缀中缀后缀表达式
Posted 薄荷加冰1
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了前缀中缀后缀表达式相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
它们都是对表达式的记法，因此也被称为前缀记法、中缀记法和后缀记法。它们之间的区别在于运算符相对与操作数的位置不同：前缀表达式的运算符位于与其相关的操作数之前；中缀和后缀同理。
举例：
(3 + 4) × 5 - 6 就是中缀表达式
- × + 3 4 5 6 前缀表达式
3 4 + 5 × 6 - 后缀表达式
中缀表达式（中缀记法）
中缀表达式是一种通用的算术或逻辑公式表示方法，操作符以中缀形式处于操作数的中间。中缀表达式是人们常用的算术表示方法。
虽然人的大脑很容易理解与分析中缀表达式，但对计算机来说中缀表达式却是很复杂的，因此计算表达式的值时，通常需要先将中缀表达式转换为前缀或后缀表达式，然后再进行求值。对计算机来说，计算前缀或后缀表达式的值非常简单。
前缀表达式（前缀记法、波兰式）
前缀表达式的运算符位于操作数之前。
前缀表达式的计算机求值：
从右至左扫描表达式，遇到数字时，将数字压入堆栈，遇到运算符时，弹出栈顶的两个数，用运算符对它们做相应的计算（栈顶元素 op 次顶元素），并将结果入栈；重复上述过程直到表达式最左端，最后运算得出的值即为表达式的结果。
例如前缀表达式“- × + 3 4 5 6”：
(1) 从右至左扫描，将6、5、4、3压入堆栈；
(2) 遇到+运算符，因此弹出3和4（3为栈顶元素，4为次顶元素，注意与后缀表达式做比较），计算出3+4的值，得7，再将7入栈；
(3) 接下来是×运算符，因此弹出7和5，计算出7×5=35，将35入栈；
(4) 最后是-运算符，计算出35-6的值，即29，由此得出最终结果。
可以看出，用计算机计算前缀表达式的值是很容易的。
将中缀表达式转换为前缀表达式：
遵循以下步骤：
(1) 初始化两个栈：运算符栈S1和储存中间结果的栈S2；
(2) 从右至左扫描中缀表达式；
(3) 遇到操作数时，将其压入S2；
(4) 遇到运算符时，比较其与S1栈顶运算符的优先级：
(4-1) 如果S1为空，或栈顶运算符为右括号“)”，则直接将此运算符入栈；
(4-2) 否则，若优先级比栈顶运算符的较高或相等，也将运算符压入S1；
(4-3) 否则，将S1栈顶的运算符弹出并压入到S2中，再次转到(4-1)与S1中新的栈顶运算符相比较；
(5) 遇到括号时：
(5-1) 如果是右括号“)”，则直接压入S1；
(5-2) 如果是左括号“(”，则依次弹出S1栈顶的运算符，并压入S2，直到遇到右括号为止，此时将这一对括号丢弃；
(6) 重复步骤(2)至(5)，直到表达式的最左边；
(7) 将S1中剩余的运算符依次弹出并压入S2；
(8) 依次弹出S2中的元素并输出，结果即为中缀表达式对应的前缀表达式。
例如，将中缀表达式“1+((2+3)×4)-5”转换为前缀表达式的过程如下：
| 扫描到的元素 | S2(栈底->栈顶) | S1 (栈底->栈顶) | 说明 |
| 5 | 5 | 空 | 数字，直接入栈 |
| - | 5 | - | S1为空，运算符直接入栈 |
| ) | 5 | - ) | 右括号直接入栈 |
| 4 | 5 4 | - ) | 数字直接入栈 |
| × | 5 4 | - ) × | S1栈顶是右括号，直接入栈 |
| ) | 5 4 | - ) × ) | 右括号直接入栈 |
| 3 | 5 4 3 | - ) × ) | 数字 |
| + | 5 4 3 | - ) × ) + | S1栈顶是右括号，直接入栈 |
| 2 | 5 4 3 2 | - ) × ) + | 数字 |
| ( | 5 4 3 2 + | - ) × | 左括号，弹出运算符直至遇到右括号 |
| ( | 5 4 3 2 + × | - | 同上 |
| + | 5 4 3 2 + × | - + | 优先级与-相同，入栈 |
| 1 | 5 4 3 2 + × 1 | - + | 数字 |
| 到达最左端 | 5 4 3 2 + × 1 + - | 空 | S1中剩余的运算符 |
因此结果为“- + 1 × + 2 3 4 5”。
后缀表达式（后缀记法、逆波兰式）
后缀表达式与前缀表达式类似，只是运算符位于操作数之后。
后缀表达式的计算机求值：
与前缀表达式类似，只是顺序是从左至右：
从左至右扫描表达式，遇到数字时，将数字压入堆栈，遇到运算符时，弹出栈顶的两个数，用运算符对它们做相应的计算（次顶元素 op 栈顶元素），并将结果入栈；重复上述过程直到表达式最右端，最后运算得出的值即为表达式的结果。
例如后缀表达式“3 4 + 5 × 6 -”：
(1) 从左至右扫描，将3和4压入堆栈；
(2) 遇到+运算符，因此弹出4和3（4为栈顶元素，3为次顶元素，注意与前缀表达式做比较），计算出3+4的值，得7，再将7入栈；
(3) 将5入栈；
(4) 接下来是×运算符，因此弹出5和7，计算出7×5=35，将35入栈；
(5) 将6入栈；
(6) 最后是-运算符，计算出35-6的值，即29，由此得出最终结果。
将中缀表达式转换为后缀表达式：
与转换为前缀表达式相似，遵循以下步骤：
(1) 初始化两个栈：运算符栈S1和储存中间结果的栈S2；
(2) 从左至右扫描中缀表达式；
(3) 遇到操作数时，将其压入S2；
(4) 遇到运算符时，比较其与S1栈顶运算符的优先级：
(4-1) 如果S1为空，或栈顶运算符为左括号“(”，则直接将此运算符入栈；
(4-2) 否则，若优先级比栈顶运算符的高，也将运算符压入S1（注意转换为前缀表达式时是优先级较高或相同，而这里则不包括相同的情况）；
(4-3) 否则，将S1栈顶的运算符弹出并压入到S2中，再次转到(4-1)与S1中新的栈顶运算符相比较；
(5) 遇到括号时：
(5-1) 如果是左括号“(”，则直接压入S1；
(5-2) 如果是右括号“)”，则依次弹出S1栈顶的运算符，并压入S2，直到遇到左括号为止，此时将这一对括号丢弃；
(6) 重复步骤(2)至(5)，直到表达式的最右边；
(7) 将S1中剩余的运算符依次弹出并压入S2；
(8) 依次弹出S2中的元素并输出，结果的逆序即为中缀表达式对应的后缀表达式（转换为前缀表达式时不用逆序）。
例如，将中缀表达式“1+((2+3)×4)-5”转换为后缀表达式的过程如下：
| 扫描到的元素 | S2(栈底->栈顶) | S1 (栈底->栈顶) | 说明 |
| 1 | 1 | 空 | 数字，直接入栈 |
| + | 1 | + | S1为空，运算符直接入栈 |
| ( | 1 | + ( | 左括号，直接入栈 |
| ( | 1 | + ( ( | 同上 |
| 2 | 1 2 | + ( ( | 数字 |
| + | 1 2 | + ( ( + | S1栈顶为左括号，运算符直接入栈 |
| 3 | 1 2 3 | + ( ( + | 数字 |
| ) | 1 2 3 + | + ( | 右括号，弹出运算符直至遇到左括号 |
| × | 1 2 3 + | + ( × | S1栈顶为左括号，运算符直接入栈 |
| 4 | 1 2 3 + 4 | + ( × | 数字 |
| ) | 1 2 3 + 4 × | + | 右括号，弹出运算符直至遇到左括号 |
| - | 1 2 3 + 4 × + | - | -与+优先级相同，因此弹出+，再压入- |
| 5 | 1 2 3 + 4 × + 5 | - | 数字 |
| 到达最右端 | 1 2 3 + 4 × + 5 - | 空 | S1中剩余的运算符 |
因此结果为“1 2 3 + 4 × + 5 -”（注意需要逆序输出）。
编写Java程序将一个中缀表达式转换为前缀表达式和后缀表达式，并计算表达式的值。其中的toPolishNotation()方法将中缀表达式转换为前缀表达式（波兰式）、toReversePolishNotation()方法则用于将中缀表达式转换为后缀表达式（逆波兰式）：
注：
(1) 程序很长且注释比较少，但如果将上面的理论内容弄懂之后再将程序编译并运行起来，还是比较容易理解的。有耐心的话可以研究一下。(2) 此程序是笔者为了说明上述概念而编写，仅做了简单的测试，不保证其中没有Bug，因此不要将其用于除研究之外的其他场合。
1 package qmk.simple_test; 2 import java.util.Scanner; 3 import java.util.Stack; 4 /** 5 * Example of converting an infix-expression to 6 * Polish Notation (PN) or Reverse Polish Notation (RPN). 7 * Written in 2011-8-25 8 * @author QiaoMingkui 9 */ 10 public class Calculator { 11 public static final String USAGE = "== usage ==\n" 12 + "input the expressions, and then the program " 13 + "will calculate them and show the result.\n" 14 + "input ‘bye‘ to exit.\n"; 15 /** 16 * @param args 17 */ 18 public static void main(String[] args) { 19 System.out.println(USAGE); 20 Scanner scanner = new Scanner(System.in); 21 String input = ""; 22 final String CLOSE_MARK = "bye"; 23 System.out.println("input an expression:"); 24 input = scanner.nextLine(); 25 while (input.length() != 0 26 && !CLOSE_MARK.equals((input))) { 27 System.out.print("Polish Notation (PN):"); 28 try { 29 toPolishNotation(input); 30 } catch (NumberFormatException e) { 31 System.out.println("\ninput error, not a number."); 32 } catch (IllegalArgumentException e) { 33 System.out.println("\ninput error:" + e.getMessage()); 34 } catch (Exception e) { 35 System.out.println("\ninput error, invalid expression."); 36 } 37 System.out.print("Reverse Polish Notation (RPN):"); 38 try { 39 toReversePolishNotation(input); 40 } catch (NumberFormatException e) { 41 System.out.println("\ninput error, not a number."); 42 } catch (IllegalArgumentException e) { 43 System.out.println("\ninput error:" + e.getMessage()); 44 } catch (Exception e) { 45 System.out.println("\ninput error, invalid expression."); 46 } 47 System.out.println("input a new expression:"); 48 input = scanner.nextLine(); 49 } 50 System.out.println("program exits"); 51 } 52 /** 53 * parse the expression , and calculate it. 54 * @param input 55 * @throws IllegalArgumentException 56 * @throws NumberFormatException 57 */ 58 private static void toPolishNotation(String input) 59 throws IllegalArgumentException, NumberFormatException { 60 int len = input.length(); 61 char c, tempChar; 62 Stack<Character> s1 = new Stack<Character>(); 63 Stack<Double> s2 = new Stack<Double>(); 64 Stack<Object> expression = new Stack<Object>(); 65 double number; 66 int lastIndex = -1; 67 for (int i=len-1; i>=0; --i) { 68 c = input.charAt(i); 69 if (Character.isDigit(c)) { 70 lastIndex = readDoubleReverse(input, i); 71 number = Double.parseDouble(input.substring(lastIndex, i+1)); 72 s2.push(number); 73 i = lastIndex; 74 if ((int) number == number) 75 expression.push((int) number); 76 else 77 expression.push(number); 78 } else if (isOperator(c)) { 79 while (!s1.isEmpty() 80 && s1.peek() != ‘)‘ 81 && priorityCompare(c, s1.peek()) < 0) { 82 expression.push(s1.peek()); 83 s2.push(calc(s2.pop(), s2.pop(), s1.pop())); 84 } 85 s1.push(c); 86 } else if (c == ‘)‘) { 87 s1.push(c); 88 } else if (c == ‘(‘) { 89 while ((tempChar=s1.pop()) != ‘)‘) { 90 expression.push(tempChar); 91 s2.push(calc(s2.pop(), s2.pop(), tempChar)); 92 if (s1.isEmpty()) { 93 throw new IllegalArgumentException( 94 "bracket dosen‘t match, missing right bracket ‘)‘."); 95 } 96 } 97 } else if (c == ‘ ‘) { 98 // ignore 99 } else { 100 throw new IllegalArgumentException( 101 "wrong character ‘" + c + "‘"); 102 } 103 } 104 while (!s1.isEmpty()) { 105 tempChar = s1.pop(); 106 expression.push(tempChar); 107 s2.push(calc(s2.pop(), s2.pop(), tempChar)); 108 } 109 while (!expression.isEmpty()) { 110 System.out.print(expression.pop() + " "); 111 } 112 double result = s2.pop(); 113 if (!s2.isEmpty()) 114 throw new IllegalArgumentException("input is a wrong expression."); 115 System.out.println(); 116 if ((int) result == result) 117 System.out.println("the result is " + (int) result); 118 else 119 System.out.println("the result is " + result); 120 } 121 /** 122 * parse the expression, and calculate it. 123 * @param input 124 * @throws IllegalArgumentException 125 * @throws NumberFormatException 126 */ 127 private static void toReversePolishNotation(String input) 128 throws IllegalArgumentException, NumberFormatException { 129 int len = input.length(); 130 char c, tempChar; 131 Stack<Character> s1 = new Stack<Character>(); 132 Stack<Double> s2 = new Stack<Double>(); 133 double number; 134 int lastIndex = -1; 135 for (int i=0; i<len; ++i) { 136 c = input.charAt(i); 137 if (Character.isDigit(c) || c == ‘.‘) { 138 lastIndex = readDouble(input, i); 139 number = Double.parseDouble(input.substring(i, lastIndex)); 140 s2.push(number); 141 i = lastIndex - 1; 142 if ((int) number == number) 143 System.out.print((int) number + " "); 144 else 145 System.out.print(number + " "); 146 } else if (isOperator(c)) { 147 while (!s1.isEmpty() 148 && s1.peek() != ‘(‘ 149 && priorityCompare(c, s1.peek()) <= 0) { 150 System.out.print(s1.peek() + " "); 151 double num1 = s2.pop(); 152 double num2 = s2.pop(); 153 s2.push(calc(num2, num1, s1.pop())); 154 } 155 s1.push(c); 156 } else if (c == ‘(‘) { 157 s1.push(c); 158 } else if (c == ‘)‘) { 159 while ((tempChar=s1.pop()) != ‘(‘) { 160 System.out.print(tempChar + " "); 161 double num1 = s2.pop(); 162 double num2 = s2.pop(); 163 s2.push(calc(num2, num1, tempChar)); 164 if (s1.isEmpty()) { 165 throw new IllegalArgumentException( 166 "bracket dosen‘t match, missing left bracket ‘(‘."); 167 } 168 } 169 } else if (c == ‘ ‘) { 170 // ignore 171 } else { 172 throw new IllegalArgumentException( 173 "wrong character ‘" + c + "‘"); 174 } 175 } 176 while (!s1.isEmpty()) { 177 tempChar = s1.pop(); 178 System.out.print(tempChar + " "); 179 double num1 = s2.pop(); 180 double num2 = s2.pop(); 181 s2.push(calc(num2, num1, tempChar)); 182 } 183 double result = s2.pop(); 184 if (!s2.isEmpty()) 185 throw new IllegalArgumentException("input is a wrong expression."); 186 System.out.println(); 187 if ((int) result == result) 188 System.out.println("the result is " + (int) result); 189 else 190 System.out.println("the result is " + result); 191 } 192 /** 193 * calculate the two number with the operation. 194 * @param num1 195 * @param num2 196 * @param op 197 * @return 198 * @throws IllegalArgumentException 199 */ 200 private static double calc(double num1, double num2, char op) 201 throws IllegalArgumentException { 202 switch (op) { 203 case ‘+‘: 204 return num1 + num2; 205 case ‘-‘: 206 return num1 - num2; 207 case ‘*‘: 208 return num1 * num2; 209 case ‘/‘: 210 if (num2 == 0) throw new IllegalArgumentException("divisor can‘t be 0."); 211 return num1 / num2; 212 default: 213 return 0; // will never catch up here 214 } 215 } 216 /** 217 * compare the two operations‘ priority. 218 * @param c 219 * @param peek 220 * @return 221 */ 222 private static int priorityCompare(char op1, char op2) { 223 switch (op1) { 224 case ‘+‘: case ‘-‘: 225 return (op2 == ‘*‘ || op2 == ‘/‘ ? -1 : 0); 226 case ‘*‘: case ‘/‘: 227 return (op2 == ‘+‘ || op2 == ‘-‘ ? 1 : 0); 228 } 229 return 1; 230 } 231 /** 232 * read the next number (reverse) 233 * @param input 234 * @param start 235 * @return 236 * @throws IllegalArgumentException 237 */ 238 private static int readDoubleReverse(String input, int start) 239 throws IllegalArgumentException { 240 int dotIndex = -1; 241 char c; 242 for (int i=start; i>=0; --i) { 243 c = input.charAt(i); 244 if (c == ‘.‘) { 245 if (dotIndex != -1) 246 throw new IllegalArgumentException( 247 "there have more than 1 dots in the number."); 248 else 249 dotIndex = i; 250 } else if (!Character.isDigit(c)) { 251 return i + 1; 252 } else if (i == 0) { 253 return 0; 254 } 255 } 256 throw new IllegalArgumentException("not a number."); 257 } 258 259 /** 260 * read the next number 261 * @param input 262 * @param start 263 * @return 264 * @throws IllegalArgumentException 265 */ 266 private static int readDouble(String input, int start) 267 throws IllegalArgumentException { 268 int len = input.length(); 269 int dotIndex = -1; 270 char c; 271 for (int i=start; i<len; ++i) { 272 c = input.charAt(i); 273 if (c == ‘.‘) { 274 if (dotIndex != -1) 275 throw new IllegalArgumentException( 276 "there have more than 1 dots in the number."); 277 else if (i == len - 1) 278 throw new IllegalArgumentException( 279 "not a number, dot can‘t be the last part of a number."); 280 else 281 dotIndex = i; 282 } else if (!Character.isDigit(c)) { 283 if (dotIndex == -1 || i - dotIndex > 1) 284 return i; 285 else 286 throw new IllegalArgumentException( 287 "not a number, dot can‘t be the last part of a number."); 288 } else if (i == len - 1) { 289 return len; 290 } 291 } 292 293 throw new IllegalArgumentException("not a number."); 294 } 295 /** 296 * return true if the character is an operator. 297 * @param c 298 * @return 299 */ 300 private static boolean isOperator(char c) { 301 return (c==‘+‘ || c==‘-‘ || c==‘*‘ || c==‘/‘); 302 } 303 }
下面是程序运行结果（绿色为用户输入）：
转载至：http://blog.csdn.net/antineutrino/article/details/6763722/
以上是关于前缀中缀后缀表达式的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章