[摸鱼]一道数学题

Posted 2020-10-15

被一道数学题缠住啦！

遇到这种情况当然是要上网找答案啦！

但找到的每一个答案我都看不懂怎么办？

那就自己死磕吧！

题目：

$f(x)=x^2+px+q$，若$f(f(x))=0$只有一个实根，求证：$p,q\geq0$

以下是我的口胡证明，欢迎纠错。

首先$f(x)=0$肯定要有根，$\triangle\geq0\Rightarrow p^2-4q\geq0\qquad(1)$

然后转化一下原问题：$\left\{\begin{align*}t=f(x)\\f(t)=0\end{align*}\right.$只有一组实数解

容易看出$t\geq-\dfrac{p^2}{4}+q$

假设它的解为$\left\{\begin{align*}x&=x_0\\t&=t_0\end{align*}\right.$

若$x_0\neq-\dfrac{p}{2}$，则$f(-p-x_0)=f(x_0)\Rightarrow f(f(-p-x_0))=f(f(x_0))=0$，矛盾！所以$x_0=-\dfrac{p}{2}$

所以$t_0=-\dfrac{p^2}{4}+q\qquad(2)$

若$t_0\lt -\dfrac{p}{2}$，则$f(-p-t_0)=f(t_0)=0$

如果$-p-t_0\neq t_0$，就有了另一组解，如果$-p-t_0=t_0$，则$t_0=-\dfrac{p}{2}$，也与$t_0\lt -\dfrac{p}{2}$矛盾

所以$t_0\geq-\dfrac{p}{2}\qquad(3)$

由$(1),(2),(3)$可得$p\geq0$

$f(t_0)=0\Rightarrow q^2+(-\dfrac{p^2}{2}+p+1)q+\dfrac{p^4}{16}-\dfrac{p^3}{4}=0$

构造函数$g(q)=q^2+(-\dfrac{p^2}{2}+p+1)q+\dfrac{p^4}{16}-\dfrac{p^3}{4}$，它的开口向上

$g(q)$的对称轴为$q=\dfrac{p^2}{4}-\dfrac{p}{2}-\dfrac{1}{2}$

把$(2)$整理一下，得到$q\geq\dfrac{p^2}{4}-\dfrac{p}{2}$，这个下限比对称轴大，所以我们只需要证这个方程的大根是非负的即可

当$p\geq2$时，$q\geq\dfrac{p^2}{4}-\dfrac{p}{2}\geq0$

当$0\leq p\lt2$时，$g(0)=\dfrac{p^4}{16}-\dfrac{p^3}{4}\leq0$，所以此方程的大根是非负的

综上，$q\geq0$