Codeforces 891D

Posted 2020-10-14 Pat

题目大意

给定一个 $n$ 个点 $m$ 条边的连通的无向图，每条边有一个权值，可能有重边。给出 $q$ 组询问，一组询问给出 $k$ 条边，问是否存在一棵最小生成树包含这 $k$ 条边。

思路

这道题是我独立想出来的，并没有看题解。

先考虑只有一组询问的做法。
判断某些边是否在某个最小生成树里，比较容易想到的做法是 Kruskal 算法：
将 $m$ 条边按权值从小到大排序。
假设这 $k$ 条边的权值中不同的数共有 $c$ 个，记作 $w_1, w_2, \dots, w_c$。
将所有「权值小于 $w_1$」 的边都插入并查集，然后再将查询的 $k$ 条边中所有权值等于$w_1$ 的边逐个插入并查集，看是否有矛盾（即是否有某条边的端点在同一个连通分量的情况），若有矛盾则说明不存在满足条件的最小生成树。若没有矛盾，再将边集中所有权值在 $[w_1,w_2)$ 范围内的边插入并查集，之后看 $k$ 条边中所有权值为 $w_2$ 的边是否会造成矛盾，这样依次检验下去，若始终没有矛盾则说明存在满足条件的最小生成树。

再考虑如何将这个做法用到多组询问上。
不难想到可以将询问离线处理。将 $q$ 组询问中权值相等的边放在一起处理。假设当前检验的是询问中权值为 $w$ 的边，原图上所有权值小于 $w$ 边都已插入并查集。在检验完第 $i$ 组询问中所有权值为 $w$ 的边之后，需要将这些边从并查集中删除。

在用并查集维护（动态）图的连通性时，需要如果需要支持删边操作，那么可以不采用路径压缩而只采用按秩合并；这样就使得删边操作很容易实现。而按秩合并可以保证一棵 $n$ 个点的树的高度为 $O(\log n)$，这样找到根节点的复杂度为 $O(\log n)$，而合并和删边都是 $O(1)$ 的；总复杂度为 $O(m\log m + K\log n)$，其中 $K =\sum_{1\le i\le q}k_i$。