史上最详尽的平衡树(splay)讲解与模板（非指针版spaly）
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了 史上最详尽的平衡树(splay)讲解与模板（非指针版spaly）相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
ORZ原创Clove学姐：
变量声明：f[i]表示i的父结点，ch[i][0]表示i的左儿子，ch[i][1]表示i的右儿子，key[i]表示i的关键字（即结点i代表的那个数字），cnt[i]表示i结点的关键字出现的次数（相当于权值），size[i]表示包括i的这个子树的大小；sz为整棵树的大小，root为整棵树的根。
再介绍几个基本操作：
【clear操作】：将当前点的各项值都清0（用于删除之后）
【get操作】：判断当前点是它父结点的左儿子还是右儿子
inline int get(int x){ return ch[f[x]][1]==x; }
【update操作】：更新当前点的size值（用于发生修改之后）
inline void update(int x){ if (x){ size[x]=cnt[x]; if (ch[x][0]) size[x]+=size[ch[x][0]]; if (ch[x][1]) size[x]+=size[ch[x][1]]; } }
下面boss来了：
【rotate操作图文详解】
这是原来的树，假设我们现在要将D结点rotate到它的父亲的位置。
step 1：
找出D的父亲结点（B）以及父亲的父亲（A）并记录。判断D是B的左结点还是右结点。
step 2：
我们知道要将Drotate到B的位置，二叉树的大小关系不变的话，B就要成为D的右结点了没错吧？
咦？可是D已经有右结点了，这样不就冲突了吗？怎么解决这个冲突呢？
我们知道，D原来是B的左结点，那么rotate过后B就一定没有左结点了对吧，那么正好，我们把G接到B的左结点去，并且这样大小关系依然是不变的，就完美的解决了这个冲突。
这样我们就完成了一次rotate，如果是右儿子的话同理。step 2的具体操作：
我们已经判断了D是B的左儿子还是右儿子，设这个关系为K；将D与K关系相反的儿子的父亲记为B与K关系相同的儿子（这里即为D的右儿子的父亲记为B的左儿子）；将D与K关系相反的儿子的父亲即为B（这里即为把G的父亲记为B）；将B的父亲即为D；将D与K关系相反的儿子记为B（这里即为把D的右儿子记为B）；将D的父亲记为A。
最后要判断，如果A存在（即rotate到的位置不是根的话），要把A的儿子即为D。
显而易见，rotate之后所有牵涉到变化的父子关系都要改变。以上的树需要改变四对父子关系，BG DG BD AB，需要三个操作（BG BD AB）。
step 3：update一下当前点和各个父结点的各个值
【代码】
【splay操作】
其实splay只是rotate的发展。伸展操作只是在不停的rotate，一直到达到目标状态。如果有一个确定的目标状态，也可以传两个参。此代码直接splay到根。
splay的过程中需要分类讨论，如果是三点一线的话（x，x的父亲，x的祖父）需要先rotate x的父亲，否则需要先rotate x本身（否则会形成单旋使平衡树失衡）
【insert操作】
其实插入操作是比较简单的，和普通的二叉查找树基本一样。
step 1：如果root=0，即树为空的话，做一些特殊的处理，直接返回即可。
step 2：按照二叉查找树的方法一直向下找，其中：
如果遇到一个结点的关键字等于当前要插入的点的话，我们就等于把这个结点加了一个权值。因为在二叉搜索树中是不可能出现两个相同的点的。并且要将当前点和它父亲结点的各项值更新一下。做一下splay。
如果已经到了最底下了，那么就可以直接插入。整个树的大小要+1，新结点的左儿子右儿子（虽然是空）父亲还有各项值要一一对应。并且最后要做一下他父亲的update（做他自己的没有必要）。做一下splay。
inline void insert(int v){ if (root==0) {sz++;ch[sz][0]=ch[sz][1]=f[sz]=0;key[sz]=v;cnt[sz]=1;size[sz]=1;root=sz;return;} int now=root,fa=0; while (1){ if (key[now]==v){ cnt[now]++;update(now);update(fa);splay(now);break; } fa=now; now=ch[now][key[now]<v]; if (now==0){ sz++; ch[sz][0]=ch[sz][1]=0;key[sz]=v;size[sz]=1; cnt[sz]=1;f[sz]=fa;ch[fa][key[fa]<v]=sz; update(fa); splay(sz); break; } } }
【find操作】查询x的排名
初始化：ans=0，当前点=root
和其它二叉搜索树的操作基本一样。但是区别是：
如果x比当前结点小，即应该向左子树寻找，ans不用改变（设想一下，走到整棵树的最左端最底端排名不就是1吗）。
如果x比当前结点大，即应该向右子树寻找，ans需要加上左子树的大小以及根的大小（这里的大小指的是权值）。
不要忘记了再splay一下
【findx操作】找到排名为x的点
初始化：当前点=root
和上面的思路基本相同：
如果当前点有左子树，并且x比左子树的大小小的话，即向左子树寻找；
否则，向右子树寻找：先判断是否有右子树，然后记录右子树的大小以及当前点的大小（都为权值），用于判断是否需要继续向右子树寻找。
这类问题可以转化为将x插入，求出树上的前驱（后继），再将x删除的问题。
其中insert操作上文已经提到。
【pre/next操作】
这个操作十分的简单，只需要理解一点：在我们做insert操作之后做了一遍splay。这就意味着我们把x已经splay到根了。求x的前驱其实就是求x的左子树的最右边的一个结点，后继是求x的右子树的左边一个结点（想一想为什么？）
inline int pre(){ int now=ch[root][0]; while (ch[now][1]) now=ch[now][1]; return now; } inline int next(){ int now=ch[root][1]; while (ch[now][0]) now=ch[now][0]; return now; }
【del操作】
删除操作是最后一个稍微有点麻烦的操作。
step 1：随便find一下x。目的是：将x旋转到根。
step 2：那么现在x就是根了。如果cnt[root]>1，即不只有一个x的话，直接-1返回。
step 3：如果root并没有孩子，就说名树上只有一个x而已，直接clear返回。
step 4：如果root只有左儿子或者右儿子，那么直接clear root，然后把唯一的儿子当作根就可以了（f赋0，root赋为唯一的儿子）
剩下的就是它有两个儿子的情况。
step 5：我们找到新根，也就是x的前驱（x左子树最大的一个点），将它旋转到根。然后将原来x的右子树接到新根的右子树上（注意这个操作需要改变父子关系）。这实际上就把x删除了。不要忘了update新根。
【总结】
平衡树的本质其实是二叉搜索树，所以很多操作是基于二叉搜索树的操作。
splay的本质是rotate，旋转其实只是为了保证二叉搜索树的平衡性。
所有的操作一定都满足二叉搜索树的性质，所有改变父子关系的操作一定要update。
关键是理解rotate，splay的原理以及每一个操作的原理。
所有的操作均来自bzoj3224 普通平衡树 附链接：http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3224
完整代码：
#include<iostream> #include<cstring> #include<cstdio> using namespace std; #define MAXN 1000000 int ch[MAXN][2],f[MAXN],size[MAXN],cnt[MAXN],key[MAXN]; int sz,root; inline void clear(int x){ ch[x][0]=ch[x][1]=f[x]=size[x]=cnt[x]=key[x]=0; } inline bool get(int x){ return ch[f[x]][1]==x; } inline void update(int x){ if (x){ size[x]=cnt[x]; if (ch[x][0]) size[x]+=size[ch[x][0]]; if (ch[x][1]) size[x]+=size[ch[x][1]]; } } inline void rotate(int x){ int old=f[x],oldf=f[old],whichx=get(x); ch[old][whichx]=ch[x][whichx^1]; f[ch[old][whichx]]=old; ch[x][whichx^1]=old; f[old]=x; f[x]=oldf; if (oldf) ch[oldf][ch[oldf][1]==old]=x; update(old); update(x); } inline void splay(int x){ for (int fa;fa=f[x];rotate(x)) if (f[fa]) rotate((get(x)==get(fa))?fa:x); root=x; } inline void insert(int x){ if (root==0){sz++; ch[sz][0]=ch[sz][1]=f[sz]=0; root=sz; size[sz]=cnt[sz]=1; key[sz]=x; return;} int now=root,fa=0; while(1){ if (x==key[now]){ cnt[now]++; update(now); update(fa); splay(now); break; } fa=now; now=ch[now][key[now]<x]; if (now==0){ sz++; ch[sz][0]=ch[sz][1]=0; f[sz]=fa; size[sz]=cnt[sz]=1; ch[fa][key[fa]<x]=sz; key[sz]=x; update(fa); splay(sz); break; } } } inline int find(int x){ int now=root,ans=0; while(1){ if (x<key[now]) now=ch[now][0]; else{ ans+=(ch[now][0]?size[ch[now][0]]:0); if (x==key[now]){ splay(now); return ans+1; } ans+=cnt[now]; now=ch[now][1]; } } } inline int findx(int x){ int now=root; while(1){ if (ch[now][0]&&x<=size[ch[now][0]]) now=ch[now][0]; else{ int temp=(ch[now][0]?size[ch[now][0]]:0)+cnt[now]; if (x<=temp) return key[now]; x-=temp; now=ch[now][1]; } } } inline int pre(){ int now=ch[root][0]; while (ch[now][1]) now=ch[now][1]; return now; } inline int next(){ int now=ch[root][1]; while (ch[now][0]) now=ch[now][0]; return now; } inline void del(int x){ int whatever=find(x); if (cnt[root]>1){cnt[root]--; update(root); return;} if (!ch[root][0]&&!ch[root][1]) {clear(root); root=0; return;} if (!ch[root][0]){ int oldroot=root; root=ch[root][1]; f[root]=0; clear(oldroot); return; } else if (!ch[root][1]){ int oldroot=root; root=ch[root][0]; f[root]=0; clear(oldroot); return; } int leftbig=pre(),oldroot=root; splay(leftbig); ch[root][1]=ch[oldroot][1]; f[ch[oldroot][1]]=root; clear(oldroot); update(root); } int main(){ int n,opt,x; scanf("%d",&n); for (int i=1;i<=n;++i){ scanf("%d%d",&opt,&x); switch(opt){ case 1: insert(x); break; case 2: del(x); break; case 3: printf("%d\n",find(x)); break; case 4: printf("%d\n",findx(x)); break; case 5: insert(x); printf("%d\n",key[pre()]); del(x); break; case 6: insert(x); printf("%d\n",key[next()]); del(x); break; } } }
以上是关于 史上最详尽的平衡树(splay)讲解与模板（非指针版spaly）的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章