图论及其应用——树

Posted 2020-07-03 黑大帅之家

  在之前初步介绍图的文章中，我们得知，图(graph)是表征事物之间关系的一种抽象化表示方法，而基于图的概念，我们将所有的无回路无向图拿出来，给它们一个新的名字——树。
  关于树的概念性术语很多，这里我们先就简单的二叉树(一个根至多有两个子树)来进行分析。

  
  这就是一些简单的二叉树，这里A、B、C等我们成为节点。A叫做根节点，它的两个分支是B和C，并且我们称B是一个左子树，C是一个右子树，知道了这些简单的概念，我们就可以初步的探讨一些问题了。

  二叉树树作为一种特殊的图，我们也要研究其遍历的方式，正如我们研究一般的图的遍历方式。由于其基本结构包括根、左子树、右子树，所以我们遍历的时候可以改变这三个元素的输出方式来得到不同的遍历顺序。
  前序遍历的递归定义：对于一个节点，访问并输出根的信息；按照前序遍历左子树；按照前序遍历右子树。
  中序遍历的递归定义：对于一个节点，按照中序遍历左子树；访问输出根的信息；按照中序遍历右子树。
  后序遍历的递归定义：对于一个节点，按照后序遍历左子树；按照后序遍历右子树；访问并输出根的信息。
  拿上图d举个例子，前序遍历：124536,；中序遍历：425361；后序遍历：452631。
  值得注意的是，除了中序遍历，其余两种遍历方式可以推广到k叉树，因为对于中序遍历，每当遍历完左子树，都会访问一次根节点，这样会造成多次重复访问根节点，就谈不上“遍历”这二字了。
  而且对于一个给定前(后)序遍历和中序遍历的二叉树，是可以唯一确定的。
 
  那么我们来看一道关于二叉树这三种遍历的题目(Problem source ：pku2255)
   

Description

Little Valentine liked playing with binary trees very much. Her favorite game was constructing randomly looking binary trees with capital letters in the nodes.  This is an example of one of her creations: 

                                               D
                                               /                                               /                                                B     E
                                            / \                                                /   \                                               A     C     G
                                                     /
                                                    /
                                                   F

To record her trees for future generations, she wrote down two strings for each tree: a preorder traversal (root, left subtree, right subtree) and an inorder traversal (left subtree, root, right subtree). For the tree drawn above the preorder traversal is DBACEGF and the inorder traversal is ABCDEFG.  She thought that such a pair of strings would give enough information to reconstruct the tree later (but she never tried it). 
Now, years later, looking again at the strings, she realized that reconstructing the trees was indeed possible, but only because she never had used the same letter twice in the same tree.  However, doing the reconstruction by hand, soon turned out to be tedious.  So now she asks you to write a program that does the job for her! 

Input

The input will contain one or more test cases.  Each test case consists of one line containing two strings preord and inord, representing the preorder traversal and inorder traversal of a binary tree. Both strings consist of unique capital letters. (Thus they are not longer than 26 characters.) Input is terminated by end of file. 

Output

For each test case, recover Valentine‘s binary tree and print one line containing the tree‘s postorder traversal (left subtree, right subtree, root).

   题目大意：给出一个二叉树的前序遍历、中序遍历，让你输出其后序遍历。

  数理分析：根据其定义，三种遍历方式是通过递归生成的，那么现在知道了两种遍历方式，也是可以还原出原来的二叉树的。
  举个例子，拿第一组数据来说，前序遍历为DBACEGF，中序遍历为ABCDEFG，那么我们通过前序遍历的定义，可知D是最大的那棵树的根，此时我们再通过中序遍历，ABC在D的左端，是左子树，而EFG在D的右端，为右子树，这样可以初步画一个树。然后我们在找前序遍历的第二个点……最终一定会还原出原来的二叉树。
 
  这里题目要求直接输出后序遍历，那么我们在还原二叉树的同时也能构造出后序遍历。在起始情况中，前序遍历的第一个点作为整棵树的根，是要作为后序遍历的最后一个点的，这是我们再通过中序遍历和前序遍历找到此根下的右子树，我们把右子树看成一个整体，通过前序遍历又能找到一个根，再通过此根和中序遍历，分出左子树和右子树……直到这个根没有子树。
  随后构造左子树。
  这里之所先找根再找右子树在找左子树，是和后序遍历的递归概念呼应的。
 

  编程实现：通过以上的描述，构造过程本质上是一种递归，也可以说是遍历图我们所熟悉的深搜。

  参考代码如下。
 

 #include<iostream>
#include<string.h>
using namespace std;

char preorder[30];
char midorder[30];
char postorder[30];
int len;

void travel(int preStar,int preEnd ,int midStar , int midEnd)
 {
       if(preStar > preEnd)  return;
       postorder[--len] = preorder[preStar];  //记录根
       if(preStar == preEnd) return;
    int i;
      for(i = 0;i <= midEnd;i++)
         if(midorder[i] == preorder[preStar])
              break;

    travel(preStar + i - midStar + 1,preEnd, i + 1, midEnd);   //左子树
    travel(preStar + 1 , preStar + i - midStar , midStar , i - 1);//右子树
 }
int main()
{
    while(cin>>preorder>>midorder)
    {

        len = strlen(preorder);
        postorder[len] = ‘\0‘;
        travel(0,len-1,0,len-1);

        cout << postorder<<endl;
    }
}

 

  我们这里下面将介绍一些树形结构在储存信息方面的一些其他应用。

  首先我们介绍线段树。
  线段树，顾名思义，一定是和线段有关的，我们通过一条线段[1,n]上的整数点储存信息，然后通过二分的方法形成完全二叉树来储存这些信息，并且还可以进行访问查找、更新数据等一系列操作，在后面具体问题的分析中我们都将讨论到。
  线段树能够解决很多的问题，这里我们从一个简单的问题来入门线段树的学习——求指定区间的最大值问题。(Problem source : hdu1754)
  

Problem Description

很多学校流行一种比较的习惯。老师们很喜欢询问，从某某到某某当中，分数最高的是多少。 这让很多学生很反感。
不管你喜不喜欢，现在需要你做的是，就是按照老师的要求，写一个程序，模拟老师的询问。当然，老师有时候需要更新某位同学的成绩。

 

Input

本题目包含多组测试，请处理到文件结束。 在每个测试的第一行，有两个正整数 N 和 M ( 0<N<=200000,0<M<5000 )，分别代表学生的数目和操作的数目。 学生ID编号分别从1编到N。 第二行包含N个整数，代表这N个学生的初始成绩，其中第i个数代表ID为i的学生的成绩。 接下来有M行。每一行有一个字符 C (只取‘Q‘或‘U‘) ，和两个正整数A，B。 当C为‘Q‘的时候，表示这是一条询问操作，它询问ID从A到B(包括A,B)的学生当中，成绩最高的是多少。 当C为‘U‘的时候，表示这是一条更新操作，要求把ID为A的学生的成绩更改为B。

 

Output

对于每一次询问操作，在一行里面输出最高成绩。

  题目大意很明了，数理分析也没有难度，那么这里我们重点分析它的编程实现。
  我们先将整个问题进行功能划分，然后再考虑函数模块化的实现。在上述问题中，我们要完成数据的存储、访问数据得到最大值、更新数据。
  这里也许人们会考虑直接用数组进行记录然后遍历求最大值，但是这种方法，第一，暴力穷举时间复杂度太高；第二，这种方法是很难完成对数据的更新。所以这里我们考虑构造线段树。
  数据的存储：也就是我们说的建立一棵树。这里我们将用二分加深搜(dfs)进行构造，并在每个非叶节点记录其左子树和右子树的最大值，这里是通过深搜后再回溯来实现的。此时，我们若将n个人的分数看做线段[1,n]上整数的“携带”的信息，那么整棵树构造完成后，每个非叶节点都记录着某个区间段上的最大值。
  访问数据得到最大值：这里我们依然需要采用二分的查找思想，然后将所求区间与我们构造出的线段树记录的信息进行匹配，得到答案。
  更新数据：这里依然基于二分查找(因为构造线段树的时候就是用的二分法，这与我们所构造的线段是本质上是完全二叉树是呼应的)，一旦找到所在的叶节点，便进行数据的更新，然后进行和建树时一样的回溯操作把整个书的节点都要更新一遍。

  有了以上对编程过程的分析，再理解代码就不困难了。
  参考代码如下。(代码中又>>和<<操作，无非是/2或*2，这里是为了得到线段树在对应的数组里的下标，读者稍微模拟一下就可以知道代码中为什么要这么写)。
 

#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;

int Max[4000001];
int max(int a , int b)
{
     return a>b?a:b;
}
void Pushup(int index)  //回溯构造线段树
{
     Max[index] = max(Max[index<<1],Max[(index<<1)+1]);
}
void build(int l,int r,int index) //建立线段树
{
     if(l == r)
     {
          scanf("%d",&Max[index]);
          return;
     }
     int m = (l + r)>>1;
     build(l,m,index<<1);
     build(m+1,r,(index<<1)+1);
     Pushup(index);
}
void update(int p,int q,int l,int r,int index)//更新数据
{
    if(l == r)
    {
         Max[index] = q;
         return;
    }
    int m = (r+l)>>1;

    if(p <= m )
         update(p,q,l,m,index<<1);
    else
         update(p,q,m+1,r,(index<<1)+1);
    Pushup(index);
}
int getMax(int L,int R,int l,int r,int index)//访问给定区间的数据
{

     if(L<=l && R >= r)
             return Max[index];
      int m = (r+l)>>1;
      int ret = 0;
      if(L <= m)
         ret = max(ret,getMax(L,R,l,m,index<<1));
      if(R > m)
         ret = max(ret,getMax(L,R,m+1,r,(index<<1)+1));
      return ret;
}

int main()
{
     int n , m , a , b , i;
     char c;
     while(scanf("%d%d",&n,&m) != EOF)
     {
         build(1,n,1);
           for(i = 0;i < m;i++)
           {
                 scanf("%*c%c%d %d",&c,&a,&b);
                 if(c == ‘Q‘)
                     printf("%d\n",getMax(a,b,1,n,1));
                 else
                     update(a,b,1,n,1);
           }

     }
}