数组中的逆序对

Posted 2020-10-14 Tongkey

题目：

在数组中的两个数字，如果前面一个数字大于后面的数字，则这两个数字组成一个逆序对。输入一个数组,求出这个数组中的逆序对的总数P。并将P对1000000007取模的结果输出。 即输出P%1000000007

输入描述:

题目保证输入的数组中没有的相同的数字

数据范围：

对于%50的数据,size<=10^4

对于%75的数据,size<=10^5

对于%100的数据,size<=2*10^5

示例1

输入

1,2,3,4,5,6,7,0

输出

7

思路分析（剑指offer）：

        看到这个题目，我们的第一反应是顺序扫描整个数组。没扫描到一个数组的时候，逐个比较该数字和它后面的数字的大小。如果后面的数字比它小，则这两个数字就组成了一个逆序对。假设数组中含有n个数字。由于每个数字都要和O(n)这个数字比较，因此这个算法的时间复杂度为O(n^2)。

        我们以数组{7,5,6,4}为例来分析统计逆序对的过程。每次扫描到一个数字的时候，我们不拿ta和后面的每一个数字作比较，否则时间复杂度就是O(n^2)，因此我们可以考虑先比较两个相邻的数字。

                                                      

(a) 把长度为4的数组分解成两个长度为2的子数组；

(b) 把长度为2的数组分解成两个成都为1的子数组；

(c) 把长度为1的子数组 合并、排序并统计逆序对 ；

(d) 把长度为2的子数组合并、排序，并统计逆序对；

       在上图（a）和（b）中，我们先把数组分解成两个长度为2的子数组，再把这两个子数组分别拆成两个长度为1的子数组。接下来一边合并相邻的子数组，一边统计逆序对的数目。在第一对长度为1的子数组{7}、{5}中7大于5，因此（7,5）组成一个逆序对。同样在第二对长度为1的子数组{6}、{4}中也有逆序对（6,4）。由于我们已经统计了这两对子数组内部的逆序对，因此需要把这两对子数组 排序 如上图（c）所示， 以免在以后的统计过程中再重复统计。

      接下来我们统计两个长度为2的子数组子数组之间的逆序对。合并子数组并统计逆序对的过程如下图如下图所示。

      我们先用两个指针分别指向两个子数组的末尾，并每次比较两个指针指向的数字。如果第一个子数组中的数字大于第二个数组中的数字，则构成逆序对，并且逆序对的数目等于第二个子数组中剩余数字的个数，如下图（a）和（c）所示。如果第一个数组的数字小于或等于第二个数组中的数字，则不构成逆序对，如图b所示。每一次比较的时候，我们都把较大的数字从后面往前复制到一个辅助数组中，确保 辅助数组（记为copy） 中的数字是递增排序的。在把较大的数字复制到辅助数组之后，把对应的指针向前移动一位，接下来进行下一轮比较。

     

过程总结：

先把数组分隔成子数组，统计出子数组内部的逆序对的数目，然后再统计出两个相邻子数组之间的逆序对的数目。

参考代码：

public class InversePairs {
    private int count = 0;

    public int InversePairs(int[] a) {
        if (a == null || a.length == 0)
            return -1;
        mergeSort(a, 0, a.length - 1);
        return count;
    }

    public void mergeSort(int[] a, int left, int right) {
        if (left < right) {
            int mid = (left + right) / 2;
            mergeSort(a, left, mid);
            mergeSort(a, mid + 1, right);
            merge(a, left, mid, right);
        }
    }

    public void merge(int[] a, int left, int mid, int right) {
        int[] tmp = new int[right - left + 1];
        int t = right - left;//临时数组下标
        int l = mid;
        int r = right;
        while (l >= left && r >= mid + 1) {
            if (a[l] > a[r]) {
                count += (r - mid);
                tmp[t--] = a[l--];
                if (count >= 1000000007) {
                    count %= 1000000007;
                }
            } else {
                tmp[t--] = a[r--];
            }
        }
        while (l >= left) {
            tmp[t--] = a[l--];
        }
        while (r >= mid + 1) {
            tmp[t--] = a[r--];
        }
        for (int i = 0; i <= right - left; i++) {
            a[left + i] = tmp[i];
        }
    }

    @Test
    public void testSolution() {
        int[] a = { 364, 637, 341, 406, 747, 995, 234, 971, 571, 219, 993, 407,
                416, 366, 315, 301, 601, 650, 418, 355, 460, 505, 360, 965,
                516, 648, 727, 667, 465, 849, 455, 181, 486, 149, 588, 233,
                144, 174, 557, 67, 746, 550, 474, 162, 268, 142, 463, 221, 882,
                576, 604, 739, 288, 569, 256, 936, 275, 401, 497, 82, 935, 983,
                583, 523, 697, 478, 147, 795, 380, 973, 958, 115, 773, 870,
                259, 655, 446, 863, 735, 784, 3, 671, 433, 630, 425, 930, 64,
                266, 235, 187, 284, 665, 874, 80, 45, 848, 38, 811, 267, 575 };
        System.out.println(InversePairs(a));//2519
    }
}