关于素数定理的一个延拓

Posted 2020-10-13 milantgh

一直以来，我们总是在孜孜不倦地寻找素数的规律，但是，很难成功，我们可以把素数看作人类思想无法渗透的秘密.

公元前3世纪，古希腊哲学家Eratosthenes提出了一个叫”过筛”的方法，做出了世界上第一张素数表，即按照素数的大小排列成表，把自然数按其大小一一写上去，然后，按照下列法则把合数去掉：

把1去除，首先
把2留下，然后，把2的倍数去除
把3留下，然后，把3的倍数去除
把5留下，然后，把5的倍数去除

同理，继续下去，直到把所有数要么留下，要么去除，这样，若纸上最大的数是N，则上述法则可以产生N以内素数的分布表，通过表，我们就可以发现，随着N的变大，素数会变得越来越稀疏.

例如：

1~10之间有4个素数，占全体40%
1~100之间有25个素数，占全体25%
1~1000之间有168个素数，占全体16.8%
1~1000000之间有78498个素数，占全体7.8%

我们用π(N)来表示不大于自然数N的素数的个数，则：

π(2)=1，π(3)=2，π(10)=4

1792年，Gauss猜测当N充分大时，有：

π(N)~N/lnN

1808年，Legendre提议当N很大时，有：

π(N)~N/(lnN+B),B=-1.08366

1859年，Riemann的8页纸论文：论不超过一个给定值的素数的个数，他把素数的分布最终归结为所谓的Riemann ζ function之零点问题，即：

由级数ζ(s)=1+1/2^s+1/3^s+1/4^s+...(s为复变数)所定义的Riemann ζ function，若s=a+bi，那么，Riemann ζ function的所有零点，除了众所周知的负整实数外，都位于复平面中a=1/2这条直线上.

1966年，关于陈景润的证明：大偶数表为一个素数及一个不超过二个素数的乘积之和，例如，100=23+7x11.

2002年，关于陶哲轩,格林的证明，存在任意长度的素数等差数列，即，由素数构成的等差数列可以任意长，而且有任意多组，亦即，对于任意值K(例如，1亿)，存在K个素数等差数列，K是一百亿亦可，例如，3，5，7就是由3个素数构成的等差数列，长度为3，目前，通过最先进的计算机发现的最长的素数等差数列长度是23，第一项是56211383760397，公差是44546738095860.

2013年，关于张益唐的证明：素数间的有界距离，即，存在无数个素数对(p,q)，其中每一对中的两个素数之差，即，p和q的距离，不超过七千万，即：SUP lim|Pn-Pn-1|<7x10^7(n->∞).

1742年，Goldbach致信Euler，提出2个猜想，如下：

1.任何一个大于2的偶数都是两个素数之和，即，”1+1”

2.任何大于5的奇数都是3个素数之和

Euler回信表示,他相信这个猜想是正确的,但他不能证明,这个猜想便引起了许多数学家的注意，从Goldbach提出这个猜想至今,许多数学家都不断努力想攻克它,但都没有成功，当然曾经有人作了些具体的验证工作,例如:

6=3+3,8=3+5,10=5+5=3+7,12=5+7,14=7+7=3+11,16=5+11,18=5+13

有人对33x108以内且大过6之偶数一一进行验算,Goldbach猜想1都成立,但严格的数学证明尚待数学家的努力,从此,这道著名的数学难题引起了世界上成千上万数学家的注意,200年过去了,没有人证明它.Goldbach猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的"明珠",人们对Goldbach猜想难题的热情,历经两百多年而不衰,世界上许许多多的数学工作者,殚精竭虑,费尽心机,然而至今仍不得其解,到了20世纪20年代,才有人开始向它靠近,1920年挪威数学家布朗用一种古老的筛选法证明,得出了一个结论：每一个大的偶数都可以表示为（99）,这种缩小包围圈的办法很管用,科学家们于是从（9十9）开始,逐步减少每个数里所含质数因子的个数,直到最后使每个数里都是一个质数为止,这样就证明了Goldbach猜想,目前最佳的结果是中国数学家陈景润于1966年证明的,称为陈氏定理：任何充分大的偶数都是一个质数与一个自然数之和,而后者仅仅是两个质数的乘积,通常都简称这个结果为大偶数可表示为 “1+2”的形式,在陈景润之前,关于偶数可表示为s个质数的乘积与t个质数的乘积之和(简称“s+t”问题)之进展情况如下:

1920年,挪威的布朗证明了“9+9”.
1924年,德国的拉特马赫证明了“7+7”.
1932年,英国的埃斯特曼证明了“6+6”.
1937年,意大利的蕾西先后证明了“5+7”,“4+9”,“3+15”,“2+366”.
1938年,苏联的布赫夕太勃证明了“5+5”.
1940年,苏联的布赫夕太勃证明了“4+4”.
1948年,匈牙利的瑞尼证明了“1+c”,其中c是一很大的自然数.
1956年,中国的王元证明了“3+4”.
1957年,中国的王元先后证明了“3+3”,“2+3”.
1962年,中国的潘承洞和苏联的巴尔巴恩证明了“1+5”, 中国的王元证明了“1+4”.
1965年,苏联的布赫夕太勃,小维诺格拉多夫,意大利的朋比利证明了“1+3 ”.
1966年,中国的陈景润证明了“1+2 ”.

布朗筛法的思路是这样的：

即任一偶数可以写2n,这里n是一个自然数,2n可以表示为n个不同形式的一对自然数之和：2n=1+(2n-1)=2+(2n-2)=3+(2n-3)=...=n+n,在筛去不适合Goldbach猜想结论的所有那些自然数对之后,例如1和2n-1;2i和(2n-2i),i=1,2,...;3j和(2n-3j),j=2,3,...;等等),如果能够证明至少还有一对自然数未被筛去,例如记其中的一对为p1和p2,那么p1和p2都是素数,即得n=p1+p2,这样Goldbach猜想就被证明了.

前一部分的叙述是很自然的想法,关键就是要证明‘至少还有一对自然数未被筛去‘,目前世界上谁都未能对这一部分加以证明,要能证明,这个猜想也就解决了,然而,因大偶数n（不小于6）等于其对应的奇数数列（首为3,尾为n-3）首尾挨次搭配相加的奇数之和,故根据该奇数之和以相关类型质数+质数（1+1）或质数+合数（1+2）（含合数+质数2+1或合数+合数2+2）（注：1+2 或 2+1 同属质数+合数类型）在参与无限次的"类别组合"时,所有可发生的种种有关联系即1+1或1+2完全一致的出现,1+1与1+2的交叉出现（不完全一致的出现）,同2+1或2+2的"完全一致",2+1与2+2的"不完全一致"等情况的排列组合所形成的各有关联系,就可导出的"类别组合"为1+1,1+1与1+2和2+2,1+1与1+2,1+2与2+2,1+1与2+2,1+2等六种方式,因为其中的1+2与2+2,1+2 两种"类别组合"方式不含1+1,所以1+1没有覆盖所有可形成的"类别组合"方式,即其存在是有交替的,至此,若可将1+2与2+2,以及1+2两种方式的存在排除,则1+1得证,反之,则1+1不成立得证,然而事实却是：1+2 与2+2,以及1+2（或至少有一种）是陈氏定理中（任何一个充分大的偶数都可以表示为两个素数的和,或一个素数与两个素数乘积的和）,所揭示的某些规律（如1+2的存在而同时有1+1缺失的情况）存在的基础根据,所以1+2与2+2,以及1+2（或至少有一种）"类别组合"方式是确定的,客观的,也即是不可排除的,所以1+1成立是不可能的,这就彻底论证了布朗筛法不能证"1+1",由于素数本身的分布呈现无序性的变化,素数对的变化同偶数值的增长二者之间不存在简单正比例关系,偶数值增大时素数对值忽高忽低,能通过数学关系式把素数对的变化同偶数的变化联系起来吗?不能!偶数值与其素数对值之间的关系没有数量规律可循,二百多年来,人们的努力证明了这一点,最后选择放弃,另找途径,于是出现了用别的方法来证明Goldbach猜想的人们,他们的努力,只使数学的某些领域得到进步,而对Goldbach猜想证明没有一点作用,Goldbach猜想本质是一个偶数与其素数对关系,表达一个偶数与其素数对关系的数学表达式,是不存在的,它可以从实践上证实,但逻辑上无法解决个别偶数与全部偶数的矛盾,个别如何等于一般呢?个别和一般在质上同一,量上对立,矛盾永远存在,Goldbach猜想是永远无法从理论上,逻辑上证明的数学结论,用当代语言来叙述,Goldbach猜想有两个内容,第一部分叫做奇数的猜想,第二部分叫做偶数的猜想,奇数的猜想指出,任何一个大于等于7的奇数都是三个素数的和,偶数的猜想是说,大于等于4的偶数一定是两个素数的和,关于Goldbach猜想的难度我就不想再说什么了,我要说一下为什么现代数学界对Goldbach猜想的兴趣不大,以及为什么中国有很多所谓的民间数学家对Goldbach猜想研究兴趣很大,事实上,在1900年,Hilbert在世界数学家大会上作了一篇报告,提出了23个挑战性的问题,Goldbach猜想是第8个问题的一个子问题,这个问题还包含了黎曼猜想和孪生素数猜想,现代数学界中普遍认为最有价值的是广义黎曼猜想,若黎曼猜想成立,很多问题就都有了答案,而Goldbach猜想和孪生素数猜想相对来说比较孤立,若单纯的解决了这两个问题,对其他问题的解决意义不是很大,所以数学家倾向于在解决其它的更有价值的问题的同时,发现一些新的理论或新的工具,“顺便”解决Goldbach猜想,例如,一个很有意义的问题是：素数的公式,若这个问题解决,关于素数的问题应该说就不是什么问题了,为什么民间数学家们如此醉心于Goldbach猜想,而不关心黎曼猜想之类的更有意义的问题呢?一个重要的原因就是,黎曼猜想对于没有学过数学的人来说,想读明白是什么意思都很困难,而Goldbach猜想对于小学生来说都能读懂,数学界普遍认为,这两个问题的难度不相上下,民间数学家解决Goldbach猜想大多是在用初等数学来解决问题,一般认为,初等数学无法解决Goldbach猜想,退一步讲,即使那天有一个牛人,在初等数学框架下解决了Goldbach猜想,有什么意义呢?这样解决,恐怕和做了一道数学课的习题的意义差不多了,当年Bernoulli兄弟向数学界提出挑战,提出了最速降线的问题,Newton用非凡的微积分技巧解出了最速降线方程,Johann Bernoulli用光学的办法巧妙的也解出最速降线方程,Jakob Bernoulli用比较麻烦的办法解决了这个问题,虽然Jakob Bernoulli的方法最复杂,但是在他的方法上发展出了解决这类问题的普遍办法-变分法,现在来看,Jakob Bernoulli的方法是最有意义和价值的,同样,当年Hilbert曾经宣称自己解决了费尔马大定理,但却不公布自己的方法,别人问他为什么,他回答说：这是一只下金蛋的鸡,我为什么要杀掉它?的确,在解决费尔马大定理的历程中,很多有用的数学工具得到了进一步发展,如椭圆曲线,模形式等,所以,现代数学界在努力的研究新的工具,新的方法,期待着Goldbach猜想这个“下金蛋的鸡”能够催生出更多的理论和工具.