TopCoder SRM 560 Div 1 - Problem 1000 BoundedOptimization & Codeforces 839 E

Posted 2020-10-13

传送门：https://284914869.github.io/AEoj/560.html

题目简述：

定义"项"为两个不同变量相乘。 
求一个由多个不同"项"相加，含有n个不同变量的式子的最大值。 
另外限制了每一个变量的最大最小值R[i]和L[i]和所有变量之和的最大值Max。 

n<=13

题外话：

刚开始做这道题的时候，感觉意外眼熟？

codeforces 839 E（此题的退化版）:http://codeforces.com/contest/839/problem/E

所以这里将介绍两道题的做法（证明）。

先来看

codeforces 839E

题意：给出一个图的邻接矩阵，要求给每个点赋一个>=0的值，使得点权和为K，并定义每条边权值为两端点点权的乘积，要求最大化边的权值和。

结论：最大化边权就是要将k均分给图中的最大团中的点。

证明：codeforces上给出了一种数学归纳法的证明:http://codeforces.com/blog/entry/53815

但这里将介绍一种新的证明方法：

首先，现在有一种分配点权的方案，

a.对于两个点a,b，假设之间没有边，且与a点相连的点权和为sa，与b点相连的点权和为sb。

再假设当前a的点权为pa，b的点权为pb。

因为全部的点权和=k，所以要维持pa+pb = 一个定值。

这两个点对答案的贡献是pa*sa+pb*sb

若sa>=sb，那么(pa+pb)*sa+0*sb >= pa*sa+pb*sb，对答案的贡献更大。所以把b的点权降为0更优。

若sa<=sb，那么0*sa+(pa+pb)*sb >= pa*sa+pb*sb，对答案的贡献更大。所以把a的点权降为0更优。

由此可见，存在一种最优的分配方案，任意不相连的两个点，其中至少有一个点点权为0。

b.由a得到的结论可得，最优分配方案中，所有点权>0的点之间，两两都有边（即团）。

我们来证明这个团中，每个点的点权相同。

我们先给这个团中的每个点随机赋一个权值（满足权值和=k）。

若在这个团中并不是每个点的点权相同：

假设在这个团中，a,b权值pa不等于pb。（a与b相连）

设与a点相连的点权和（包括pb）为sa = k-pa，与b点相连的点权和（包括pa）为sb = k-pb。

假设把a的点权变为pa+t，b的点权变为pb-t对边的权值和的贡献最大。

这时，边的权值和的变化量为 t*(sa-pb) - t*(sb-pa) + (pa+t)*(pb-t) - pa*pb = - t*t + t*(sa-sb)

那么这变成了一个二次函数最值问题（初中知识吧。。）

t=(sa-sb)/2=(pb-pa)/2的时候最优。

此时a权从pa-->(pa+pb)/2，b权从pb-->(pa+pb)/2。即pa,pb变为了它们的平均数。

所以，可以对这个团进行若干个这样的操作，

每次取两个权值不相同的点，把它们的权值设为它们的平均数。

最终的最优方案，一定是每个点点权相同。

c.接下来我们证明，最大团最优。

若团的大小为s。边的权值和为

s越大越好。

TopCoder SRM 560 Div 1 - Problem 1000 BoundedOptimization

终于回到正题了。。。

若两个变量的乘积对答案有贡献，就将这两个点之间连一条边。与上题类似，唯一的区别就是：

L[i],R[i],Max的限制。并且，数据范围变小。

其实证明方法类似。

a.存在一种最优的分配方案，任意不相连的两个点，其中至少有一个点点权为为L[i]或R[i]。

证明方法同上。

b.就不一样了

由a得到的结论可得，最优分配方案中，所有点权大于L[i],小于R[i]的点之间，两两都有边（即团）。

这里，设团中的点权和为tot。

设团中某两个点a,b（设点权分别为pa,pb，设pa+pb=S）

设a,b连向团外的点权和分别为Wa,Wb

这两个点对答案的贡献是pa*pb + pa*(tot-S+Wa) + pb*(tot-S+Wb) = -pa^2 + pa*(S+Wa-Wb)  + S*(tot-S+Wb)

又是一个二次函数最值问题。

pa = (S+Wa-Wb)/2，pb = (S+Wb-Wa)/2时

（除非pa或pb不在L到R范围内，此时pa或pb有一项为L或R时更优，则a或b不会在团内，所以不考虑这种情况）

最优。

考虑pa和pb的特点：pa-Wa = (S-Wa-Wb)/2， pb-Wb = (S-Wa-Wb)/2。

于是pa - Wa = pb - Wb 

所以这个团中的每一个点，pi - Wi是一个定值。

c.如何求解

一个很简单的思路出来了。

枚举哪些点权为L[i]，哪些点权为R[i]，其余点形成团。

这个枚举的过程是3^n

这个基础上求解，

对于团中的每一个点，可以轻易地求出W[i]（定义见b）

也可以知道团的点权和 <= 一个值。设团的点权和 <= sum

由b的结论可得：团中p[i] - W[i]是一个定值。

设p[i] - W[i] = C

又p[i] = C+W[i] <= R[i]，所以C <= R[i] - W[i]。

p[i] = C+W[i] >= L[i]，所以C >= L[i] - W[i]。

同时sigma{p[i]}<=sum，所以sigma{ C+W[i] }<=R[i]。

由于点权总体越大越好，所以C越大越好。解上述不等式，求出最大的C。

最后求出在这种情况下图的边权和，更新答案，便做完了！

真是道好题！

 

注：可能我的方法不太优秀，欢迎各位大佬在评论区给出更方便的做法

 

这里给出代码：

 1 #include <cstdio>
 2 #include <string>
 3 #include <vector>
 4 #include <cstring>
 5 #include <iostream>
 6 #include <algorithm>
 7 using namespace std;
 8 #define _CLASSNAME_ BoundedOptimization
 9 #define _METHODNAME_ maxValue
10 #define _RC_ double
11 #define _METHODPARMS_ vector <string> s, vector <int> L, vector <int> R, int maxSum
12 #define ref(i,x,y)for(int i=x;i<=y;++i)
13 #define def(i,x,y)for(int i=x;i>=y;--i)
14 double tot, Ans;
15 int n, maxsum, w[13], W[13];
16 struct xint { int L, R; }p[13];
17 bool a[13][13];
18 bool isletter(char c) { return c >= ‘a‘&&c <= ‘z‘; }
19 double _min(double a, double b) { return a < b ? a : b; }
20 void work(int x) {
21     if (maxsum < 0)return;
22     if (x == n) {
23         double tmp = 2e9; int num = 0, sum = 0;
24         ref(i, 0, n - 1)if (w[i] < 0)tmp = _min(tmp, p[i].R - W[i]), ++num, sum += W[i];
25         tmp = _min(tmp, 1.0*(maxsum - sum) / num);
26         ref(i, 0, n - 1)if (w[i] < 0)if (tmp + W[i] < p[i].L)return;
27         double ans = tot, ans2 = (sum + num*tmp)*(sum + num*tmp);
28         ref(i, 0, n - 1)if (w[i] < 0)ans += (tmp + W[i])*W[i];
29         ref(i, 0, n - 1)if (w[i] < 0)ans2 -= (tmp + W[i])*(tmp + W[i]);
30         ans = ans + ans2 / 2;
31         if (ans > Ans)Ans = ans;
32         return;
33     }
34     int tmp = tot;
35     //first case
36     w[x] = p[x].L;
37     ref(i, 0, x - 1)if (w[i] < 0 && a[x][i])W[i] += w[x];
38     ref(i, 0, x - 1)if (w[i] >= 0 && a[x][i])tot += w[i] * w[x];
39     maxsum -= w[x]; work(x + 1); maxsum += w[x];
40     ref(i, 0, x - 1)if (w[i] < 0 && a[x][i])W[i] -= w[x];
41     tot = tmp;
42     //second case
43     w[x] = p[x].R;
44     ref(i, 0, x - 1)if (w[i] < 0 && a[x][i])W[i] += w[x];
45     ref(i, 0, x - 1)if (w[i] >= 0 && a[x][i])tot += w[i] * w[x];
46     maxsum -= w[x]; work(x + 1); maxsum += w[x];
47     ref(i, 0, x - 1)if (w[i] < 0 && a[x][i])W[i] -= w[x];
48     tot = tmp;
49     //third case
50     w[x] = -1; W[x] = 0;
51     ref(i, 0, x - 1)if (w[i] < 0 && !a[x][i])return;
52     ref(i, 0, x - 1)if (w[i] >= 0 && a[x][i])W[x] += w[i];
53     work(x + 1);
54     W[x] = 0;
55 }
56 class _CLASSNAME_ {
57 public:
58     _RC_ _METHODNAME_(_METHODPARMS_)
59     {
60         string S = "";
61         memset(a, 0, sizeof a);
62         memset(W, 0, sizeof W);
63         memset(w, 0, sizeof w);
64         Ans = 0; tot = 0;
65         ref(i, 0, s.size() - 1)S = S + s[i];
66         ref(i, 0, S.size() - 2)if (isletter(S[i]) && isletter(S[i + 1]))
67             a[S[i] - ‘a‘][S[i + 1] - ‘a‘] = a[S[i + 1] - ‘a‘][S[i] - ‘a‘] = 1;
68         n = L.size();
69         ref(i, 0, n - 1)p[i].L = L[i], p[i].R = R[i];
70         maxsum = maxSum;
71         work(0);
72         return _RC_(Ans);
73     }
74     // BEGIN CUT HERE
75 public:
76     void run_test(int Case) { if ((Case == -1) || (Case == 0)) test_case_0(); if ((Case == -1) || (Case == 1)) test_case_1(); if ((Case == -1) || (Case == 2)) test_case_2(); if ((Case == -1) || (Case == 3)) test_case_3(); }
77 private:
78     template <typename T> string print_array(const vector<T> &V) { ostringstream os; os << "{ "; for (typename vector<T>::const_iterator iter = V.begin(); iter != V.end(); ++iter) os << ‘\\"‘ << *iter << "\\","; os << " }"; return os.str(); }
79     void verify_case(int Case, const double &Expected, const double &Received) { cerr << "Test Case #" << Case << "..."; if (Expected == Received) cerr << "PASSED" << endl; else { cerr << "FAILED" << endl; cerr << "\\tExpected: \\"" << Expected << ‘\\"‘ << endl; cerr << "\\tReceived: \\"" << Received << ‘\\"‘ << endl; } }
80     void test_case_0() { string Arr0[] = { "ba+cb" }; vector <string> Arg0(Arr0, Arr0 + (sizeof(Arr0) / sizeof(Arr0[0]))); int Arr1[] = { 0,0,1 }; vector <int> Arg1(Arr1, Arr1 + (sizeof(Arr1) / sizeof(Arr1[0]))); int Arr2[] = { 1,2,1 }; vector <int> Arg2(Arr2, Arr2 + (sizeof(Arr2) / sizeof(Arr2[0]))); int Arg3 = 3; double Arg4 = 2.25; verify_case(0, Arg4, maxValue(Arg0, Arg1, Arg2, Arg3)); }
81     void test_case_1() { string Arr0[] = { "ab" }; vector <string> Arg0(Arr0, Arr0 + (sizeof(Arr0) / sizeof(Arr0[0]))); int Arr1[] = { 0, 0, 10 }; vector <int> Arg1(Arr1, Arr1 + (sizeof(Arr1) / sizeof(Arr1[0]))); int Arr2[] = { 20, 20, 20 }; vector <int> Arg2(Arr2, Arr2 + (sizeof(Arr2) / sizeof(Arr2[0]))); int Arg3 = 12; double Arg4 = 1.0; verify_case(1, Arg4, maxValue(Arg0, Arg1, Arg2, Arg3)); }
82     void test_case_2() { string Arr0[] = { "ca+fc+fa+d","b+da+","dc+c","b","+ed+eb+ea" }; vector <string> Arg0(Arr0, Arr0 + (sizeof(Arr0) / sizeof(Arr0[0]))); int Arr1[] = { 10,11,12,13,14,15 }; vector <int> Arg1(Arr1, Arr1 + (sizeof(Arr1) / sizeof(Arr1[0]))); int Arr2[] = { 15,16,17,18,19,20 }; vector <int> Arg2(Arr2, Arr2 + (sizeof(Arr2) / sizeof(Arr2[0]))); int Arg3 = 85; double Arg4 = 2029.25; verify_case(2, Arg4, maxValue(Arg0, Arg1, Arg2, Arg3)); }
83     void test_case_3() {
84         string Arr0[] = { "db+ea+ik+kh+je+","fj+lk+i","d+jb+h","a+gk+mb+ml+lc+mh+cf+fd+","gc+ka+gf+bh+mj+eg+bf+hf+l","b+al+ja+da+i",
85             "f+g","h+ia+le+ce+gi+d","h+mc+fe+dm+im+kb+bc+","ib+ma+eb+mf+jk+kc+mg+mk+","gb+dl+ek+hj+dg+hi","+ch+ga+ca+fl+ij+fa+jl+dc+dj+fk","+li+jg" }; vector <string> Arg0(Arr0, Arr0 + (sizeof(Arr0) / sizeof(Arr0[0]))); int Arr1[] = { 57,29,50,21,49,29,88,33,84,76,95,55,11 }; vector <int> Arg1(Arr1, Arr1 + (sizeof(Arr1) / sizeof(Arr1[0]))); int Arr2[] = { 58,80,68,73,52,84,100,79,93,98,95,69,97 }; vector <int> Arg2(Arr2, Arr2 + (sizeof(Arr2) / sizeof(Arr2[0]))); int Arg3 = 845; double Arg4 = 294978.3333333333; verify_case(3, Arg4, maxValue(Arg0, Arg1, Arg2, Arg3));
86     }
87 
88     // END CUT HERE
89 };
90 // BEGIN CUT HERE
91 
92 int main() {
93     _CLASSNAME_ user;
94     user.run_test(-1);
95     getchar();
96 }
97 // END CUT HERE