经典动态规划

Posted 2020-10-13 小时のblog

五道经典动态规划问题
1)最大子序列和
题目描述：一个序列，选和最大的子序列
转移方程：sum[i]=max{sum[i-1]+a[i],a[i]}
当前元素的状态是：自己单独一组还是并到前面
最后的答案max{sum[i]}
扩展到二维：最大子矩阵
方法一：而为前缀和 取max
sum[i][j]=sum[i-1][j]+sum[i][j-1]-sum[i-1][j-1]+a[i][j]
方法二：二维RMQ
方法三:记录每列的前缀和，枚举子矩阵的上下边界
2)最大修改子序列
题目描述：一个序列，可以修改一次，假设a[i]-->p
转移方程：
f[i][0]=max{f[i-1][0]+a[i],a[i]}
f[i][1]=max{f[i-1][1]+a[i],f[i-1][0]+p,p}
表示到第i个数有没有进行修改
扩展到二维：求待修改的最大子矩阵
for(int tu=1;tu<=n;tu++){
for(int i=1;i<=m;i++)mn[i]=map[tu][i];
for(int i=1;i<=m;i++)a[i]=sum[td][i]-sum[tu][i];
dp[0][1]=-inf;
for(int i=1;i<=m;i++){
dp[i][0]=max(dp[i-1][0]+a[i],a[i]);
dp[i][1]=max(max(dp[i-1][1]+a[i],a[i]-mn[i]+p),dp[i-1][0]+p+a[i]);
}
}
3)数塔问题（数字三角形）递推
4)01背包：
题目描述：n个物品，m为背包容量，wi为物品重量，vi为物品价值
每个物品只有一个
转移方程：
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=m;j>=wi;j--)
f[j]=max(f[j],f[j-wi]+vi);
01的意思是该物品只有拿和被那两种状态
5)最长上升子序列
转移方程：
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<i;j++)
if(a[i]>a[j])
f[i]=max(f[i],f[j+1]);
注意f数组初始化为1
时间复杂度是O(n^2),可以优化。
memset(dp,0x3f,sizeof(dp));
for(int i=1;i<=n;i++)
{
int p=upper_bound(dp+1,dp+n+1,a[i])-dp;
if(a[i]!=dp[p-1])//严格上升序列
dp[p]=a[i];
}
for(int i=1;i<=n+1;i++)
if(dp[i]==maxn)
{
printf("%d\n",i-1);
return 0;
}
dp[i]表示长度为i的最后一个数
时间复杂度O(nlogn)