HihoCoder 1068 RMQ-ST算法+BIT

Posted 2020-10-13 ---学习ing---

以前都是用的BIT或者线段树（前者多一些）。

对于ST（Sparse Table），在求倍增or公共祖先时见过，说明还有其他用处，所以还是学习一下。

 

 

首先是预处理，用动态规划（DP）解决。

设A[i]是要求区间最值的数列，F[i, j]表示从第i个数起连续2^j个数中的最大值。（DP的状态）

 

例如：

A数列为：3 2 4 5 6 8 1 2 9 7

F[1，0]表示第1个数起，长度为2^0=1的最大值，其实就是3这个数。同理

 

                             F[1,1] = max(3,2) = 3,

                             F[1，2]=max(3,2,4,5) = 5，

                             F[1，3] = max(3,2,4,5,6,8,1,2) = 8;

 

并且我们可以容易的看出F[i,0]就等于A[i]。（初始值）

我们把F[i，j]平均分成两段（因为f[i，j]一定是偶数个数字），从 i 到i + 2 ^ (j - 1) - 1为一段，i + 2 ^ (j - 1)到i + 2 ^ j - 1为一段(长度都为2 ^ (j - 1))。用上例说明，当i=1，j=3时就是3,2,4,5 和 6,8,1,2这两段。F[i，j]就是这两段各自最大值中的最大值。于是我们得到了状态转移方程

 

                        F[i, j]=max（F[i，j-1], F[i + 2^(j-1)，j-1]）。

 

实则就是倍增的思想，所以循环时，‘长度‘为第一循环。

 

void RMQ(int n) //预处理->O(nlogn)
{
    for(i=1;i<=n;i++)  a[i][0]=num[i];

    for(int j = 1; j < 20; ++j)
        for(int i = 1; i <= n; ++i)
            if(i + (1 << j) - 1 <= n)
            {
                a[i][j] = max(a[i][j - 1], a[i + (1 << (j - 1))][j - 1]);
                a[i][j] = min(a[i][j - 1], a[i + (1 << (j - 1))][j - 1]);
            }

}

 

 

 

 

 

 

 

树状数组

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<iostream>
using namespace std;
const int inf=100000000;
const int maxn=1100000;
int Min[maxn],a[maxn],n;
void add(int u,int num)
{
    while(u<=n){
        Min[u]=min(num,Min[u]);    
        u=u+(-u&u);
    }
}
void query(int L,int R)
{
    int ans=inf;
    while(R>=L){
        //要用Min[R]，必须满足R包括的范围>=L 
        while(R-(-R&R)>=L){//大范围比较 Min 
            ans=min(ans,Min[R]); 
            R=R-(-R&R);
        }
        //包括的范围超出L，则R-1. 
        if(R>=L) ans=min(ans,a[R]);//单点比较 a 
        R--;
    }
    printf("%d\n",ans);
}
int main()
{
    int i,j,q,u,v;
    scanf("%d",&n);
    for(i=1;i<=n;i++) Min[i]=inf;
    for(i=1;i<=n;i++) {
        scanf("%d",&a[i]);
        add(i,a[i]);
    }
    scanf("%d",&q);
    for(i=1;i<=q;i++) {
        scanf("%d%d",&u,&v);
        query(u,v);
    }
    return 0;
}