算法总结1——动态规划

Posted 2020-07-02 Sun7_She

该文章所用的图片取自上海交大电院高晓沨老师上课所用的课件~顺便说一句，高老师的英语简直太棒了！

网址：http://cs.sjtu.edu.cn/~gao-xf/algorithm/

正值期中，即将考试，总结一下之前学的算法还是很有必要的，一方面记录以备之后用到，一方面防止自己在复习的过程中走神...之前做笔记总是想着自己看懂就好，其实很多地方没有写明白，导致之后看起来还是比较费力的，而目前任务多又重（估计之后也好不到哪里去），只想能不动脑就不动脑啊。所以想让自己写出的东西通俗易懂，以后只管端起茶杯，听着小曲儿，照样看得明白！

本次先把刚刚学的动态规规划写清楚，因为下周要交作业啊摔...

贪婪算法和递归留下周再讲，因为下下周有考试啊摔...

1、贪婪算法

2、递归

3、动态规划Dynamic programming.

Break up a problem into a series of overlapping sub-problems, and build up solutions to larger and larger sub-problems.

把一个问题分为一系列重叠的子问题，建立解决方案解决越来越大的子问题。

以下有几个常用的算法，有时间可以查下，暂时就不讲了哈~

Unix diff 用于比较两个文件

Viterbi 用于隐式马尔科夫模型

Smith-Waterman 用于基因序列对齐

Bellman-Ford 用于寻找网络中的最短路径

Cocke-Kasami-Younger 用于前后文无关的语法分析

加权间隔调度Weighted Interval Scheduling

input：开始时间：Sj  结束时间：Fj  权重：Vj

requirement：两个工作不能重叠

goal：找到权重最大的互相兼容的工作

如果使用贪婪算法：

1、将所有的工作按照结束时间排序   2、如果该工作和之前选择的工作不冲突，则加到结果集合中

但是如果加了权重，那么贪婪算法就会失效

动态规划之加权间隔调度——蛮力法

1、将所有工作按照结束时间排序

定义：P(j)=和工作j兼容的最大的工作i

定义：OPT(j)=对于工作j来说最优的权重和（区间为从1到j）

2、

解释：①、如果 j 为0，则权重和为0  ②、如果j不为0，比较如果选 j（权重和为 j 的权重Vj + 在 j 之前且和 j 最大兼容的工作的最优权重和）和如果不选j（j-1的最优权重和）两种情况，选择权重和大的那一个作为 j 的最优权重和

动态规划之加权间隔调度——记忆法

我们可以看出在上边蛮力法的图中，有很多重叠的区域，比如2-(1,0)重复了3次，3-(1,(2-1,0))重复了2次。这种情况下重复计算明显是可以避免的，因此我们设置一个数组，用来记录这些情况。

时间复杂度为O(n logn)

动态规划之加权间隔调度——自底向上（no 递归）

分段最小二乘（Segmented Least Squares）

input：所有点的坐标(xj,yj)

requirement：找到一组线，使得 1、所有点到线的距离平方和E最小 2、线的数量L最小——可以合并为E+cL（c>0）最小

定义：

OPT(j)=对于p1,p2,...,pj来说最小cost

e(i,j)=p(i),p(i+1),...pj最小平方和

公式：

解释：

如果j=0，则最小cost就是0

否则，i 与之后一直到 j 所有的点拟合一条新的线的cost + 新增加了一条线就会多出的代价C +  i 点之前的最小平方和OPT(i-1) 

算法：

时间复杂度O(n^3)

背包问题Knapsack Problem

input：各个物品对应的weight和value

requirement：重量（weight）有限制的情况下，如何选择价值和（value）最大的物品

定义：

OPT(i,w)=从1到 i 的物品的最大价值和（在重量W内）

公式：

解释：

如果i=0，则从1到 i 的最大价值和为0

如果 i 的重量大于总的重量，则 （从1到 i 的最大价值和） = （从1到 i -1的最大价值和）

其他情况，选 （第i-1个物品重量为W的价值和） 与 （第i个物品的value+之前物品(重量为w-wi)最优价值和）中最大的一个作为（从1到 i 的最大价值和）

算法——自底向上（no 递归）

示例

时间复杂度：

O(n*W)

RNA二级结构RNA Secondary Structure

input：ACGU序列

requirement：1、AU配对 CG配对  2、如果有拐角，中间间隔至少4个元素  3、不可以穿插

定义：

OPT(i,j)=从 i 到 j 碱基对的最大数量。

解释：

1、如果 i >= j-4，则OPT(i,j)=0

2、如果 bj不和哪个元素配对，则OPT(i,j)=OPT(i,j-1)

3、如果 bj 和 bt 配对，并且 i <= t  <= j-4，则OPT(i,j)=1+max{ OPT(i,t-1) + OPT(t+1, j-1) }——最前边加的那个1，就是 bj 与 bt 配对的那一对的计数

时间复杂度O(n^3)

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