蒙特卡罗算法（Monte Carlo method）

Posted 2020-10-12 Daisy_Xu

蒙特卡罗方法概述

蒙特卡罗方法又称统计模拟法、随机抽样技术，是一种随机模拟方法，以概率和统计理论方法为基础的一种计算方法，是使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方法。将所求解的问题同一定的概率模型相联系，用电子计算机实现统计模拟或抽样，以获得问题的近似解。为象征性地表明这一方法的概率统计特征，故借用赌城蒙特卡罗命名。

蒙特卡罗方法的基本思想

用事件发生的“频率”来决定事件的“概率”。高速电子计算机使得用数学方法在计算机上大量、快速地模拟这样的试验成为可能。

蒙特卡罗方法的基本原理

设有统计独立的随机变量Xi(i=1，2，3，…，k)，其对应的概率密度函数分别为fx1，fx2，…，fxk，功能函数式为Z=g(x1，x2，…，xk)。

首先根据各随机变量的相应分布，产生N组随机数x1，x2，…，xk值，计算功能函数值 Zi=g(x1，x2，…，xk)(i=1，2，…，N)，若其中有L组随机数对应的功能函数值Zi≤0，则当N→∞时，根据伯努利大数定理及正态随机变量的特性有：结构失效概率，可靠指标。

从蒙特卡罗方法的思路可看出，该方法回避了结构可靠度分析中的数学困难，不管状态函数是否非线性、随机变量是否非正态，只要模拟的次数足够多，就可得到一个比较精确的失效概率和可靠度指标。

蒙特卡罗方法分子模拟计算的步骤

蒙特卡罗方法实施步骤：

1、通过敏感性分析，确定随机变量；

2、构造随机变量的概率分布模型；

3、为各输入随机变量抽取随机数；

4、将抽得的随机数转化为各输入随机变量的抽样值；

5、将抽样值组成一组项目评价基础数据；

6、根据基础数据计算出评价指标值；

7、整理模拟结果所得评价指标的期望值、方差、标准差和它的概率分布及累计概率，绘制累计概率分布图，计算项目可行或不可行的概率。

蒙特卡罗方法应用

1.求π

#include <bits/stdc++.h>

#define MAX_ITERS 10000000

using namespace std;

double Rand(double L, double R)
{
    return L + (R - L) * rand() * 1.0 / RAND_MAX;
}

double GetPi()
{
    srand(time(NULL));
    int cnt = 0;
    for(int i = 0; i < MAX_ITERS; i++)
    {
        double x = Rand(-1, 1);
        double y = Rand(-1, 1);
        if(x * x + y * y <= 1)
            cnt++;
    }
    return cnt * 4.0 / MAX_ITERS;
}

int main()
{
    for(int i = 0; i < 10; i++)
        cout <<  fixed << setprecision(10)<<GetPi() << endl;
    return 0;
}

 

2.求e

#include <bits/stdc++.h>

#define MAX_ITERS 10000000

using namespace std;

struct Point
{
    double x, y;
};

double Rand(double L, double R)
{
    return L + (R - L) * rand() * 1.0 / RAND_MAX;
}

Point getPoint()
{
    Point t;
    t.x = Rand(1.0, 2.0);
    t.y = Rand(0.0, 1.0);
    return t;
}

double getResult()
{
    int m = 0;
    int n = MAX_ITERS;
    srand(time(NULL));
    for(int i = 0; i < n; i++)
    {
        Point t = getPoint();
        double res = t.x * t.y;
        if(res <= 1.0)
            m++;
    }
    return pow(2.0, 1.0 * n / m);
}

int main()
{
    for(int i = 0; i < 20; i++)
        cout << fixed << setprecision(10) << getResult() << endl;
    return 0;
}
//precision() 返回当前的浮点数精度值
//precision(val) 设置val为新的浮点数精度值, 并返回原值
//setf(flags) 添加格式标志flags, 返回所有标志的原本状态.
//showpos    正数前面加上+号
//fixed 使用小数计数法
//scientific 使用科学计数法
//uppercase 使用大写字符
//showbase  显示数字的进制
//boolalpha    bool值使用字符表示 , true或者false
//noboolalpha     bool使用0和1表示
//left   靠左对齐
//right  靠右对齐
//internal 字符靠左对齐, 数字卡右对齐

 参考：

[1]http://blog.csdn.net/acdreamers/article/details/44978591

[2]MBA智库：http://wiki.mbalib.com/wiki/%E8%92%99%E7%89%B9%E5%8D%A1%E7%BD%97%E6%96%B9%E6%B3%95