计算几何--平面向量

Posted 2020-10-12

弧度

弧度π=角度180°

坐标表示法(a,b)的含义

大概就是：从(0,0)向(a,b)连一条有向线段，它表示的向量就与向量(a,b)相等。

或者：$(a,b)=ai+bj$，就是正交分解成两个分别与x、y轴同向的单位向量

点b与点a相减

直接两组坐标对应减即可，得到向量，得到一个方向为a到b的方向，长度为a与b的直线距离的向量

向量与数的乘/除

直接两个坐标乘/除该数字即可，得到向量，几何意义：方向不变，长度乘/除（本文中*号表示数乘）

点与向量的加/减

直接两组坐标对应加/减即可，得到点，几何意义：以该点为起点，沿着向量方向移动向量长度

向量与向量的加/减

直接两组坐标对应加/减即可，得到向量，几何意义：满足平行四边形法则/三角形法则

向量相同

长度相等且方向相同

向量共线（或称“平行”）

就是方向相同或相反，长度不管。判定：叉积为0

向量a与向量b的内积/点积/数量积（?）（返回一个数量）

a的长度*b的长度*cos夹角，$a{\\cdot}b=|a||b|cos\\theta$

这里的夹角指从a到b逆时针旋转的角，因此夹角绝对值大于90°时点积为负。

（$cos{\\theta}$图像）

几何意义：a的长度*b在a的方向上的投影

满足：

交换律，分配律，结合律（可以几何证明）

垂直向量的内积为0。

a与b同向，那么内积等于长度的乘积。

a与b反向，那么内积等于长度乘积的相反数。

坐标计算：

设$a=x1*i+y1*j,b=x2*i+y2*j$，
那么$a{\\cdot}b=(x1*i+y1*j){\\cdot}(x2*i+y2*j)$
$=x1*x2*i^2+x1*y2*i*j+y1*x2*i*j+y1*y2*j^2$
由于i,j垂直且长度为1，那么$i^2=j^2=1$，$i{\\cdot}j=j{\\cdot}i=0$
所以$a{\\cdot}b=x1*x2+y1*y2$

向量夹角

用内积计算式变换一下即可。

${\\theta}=a{\\cdot}b/(|a||b|)$

向量长度（也叫“模”）

就是自身内积开平方根。

$|a|=\\sqrt{a{\\cdot}a}$

也可以理解为勾股定理。

向量a与向量b的叉积/外积（×）（返回一个向量）

（似乎一般只使用这个向量的长度也就是一个数量...）

$a{\\times}b=|a||b|sin{\\theta}$，就是三角形面积的某个公式乘2

$a{\\times}b=a.x*b.y-b.x*a.y$

满足：

反交换律$a{\\times}b=-b{\\times}a$

分配律$a{\\times}(b+c)=a{\\times}b+a{\\times}c$

结合律$(r*a){\\times}b=a{\\times}(r*b)=r(a{\\times}b)$

几何意义：

把a和b的起点固定，a和b组成的三角形的“有向面积”的两倍，就是形成的一个平行四边形的面积。

所谓有向面积，如果从a到b旋转是逆时针，那么为正，如果是顺时针则为负（旋转取小于等于180°的角）。

或者说，沿着a的方向看，b在左侧，那么为正，如果在右侧则为负。

如果a、b共线，不管方向相同还是相反，叉积都为0。

向量旋转

设rad为逆时针旋转的角度（弧度制），那么新向量为$(a.x*cos(rad)-a.y*sin(rad),a.x*sin(rad)+a.y*cos(rad))$

在2-D的迪卡尔坐标系中，一个位置向量的旋转公式可以由三角函数的几何意义推出。比如上图所示是位置向量R逆时针旋转角度B前后的情况。在左图中，我们有关系：

　　x0 = |R| * cosA

　　y0 = |R| * sinA

　　=>

　　cosA = x0 / |R|

　　sinA = y0 / |R|

　　在右图中，我们有关系：

　　x1 = |R| * cos（A+B）

　　y1 = |R| * sin（A+B）

　　其中（x1， y1）就是（x0， y0）旋转角B后得到的点，也就是位置向量R最后指向的点。我们展开cos（A+B）和sin（A+B），得到

　　x1 = |R| * （cosAcosB - sinAsinB）

　　y1 = |R| * （sinAcosB + cosAsinB）

　　现在把

　　cosA = x0 / |R|

　　sinA = y0 / |R|

　　代入上面的式子，得到

　　x1 = |R| * （x0 * cosB / |R| - y0 * sinB / |R|）

　　y1 = |R| * （y0 * cosB / |R| + x0 * sinB / |R|）

　　=>

　　x1 = x0 * cosB - y0 * sinB

　　y1 = x0 * sinB + y0 * cosB

　　这样我们就得到了2-D迪卡尔坐标下向量围绕原点的逆时针旋转公式。

证明

直线的参数表示

$P+tv$，其中P为点，t为参数，v为向量（表示方向）

直线：t无限制；射线：t大于0；线段：t在0和1之间

直线交点

证明

记录1 记录2

设直线分别为$P+tv$和$Q+tw$。交点在第一条直线上参数为t1，第二条直线上参数为t2。

那么，$P+t1v=Q+t2w$

两边同时叉乘w，得到$(P+t1v){\\times}w=(Q+t2w){\\times}w$

由分配律知，$P{\\times}w+t1v{\\times}w=Q{\\times}w+t2w{\\times}w$

由结合律(?)知，$P{\\times}w+t1v{\\times}w=Q{\\times}w+t2(w{\\times}w)$

由$w×w=0$知，$P{\\times}w+t1v{\\times}w=Q{\\times}w$

则$t1v{\\times}w=Q{\\times}w-P{\\times}w=(Q-P){\\times}w=w{\\times}(P-Q)$

则$t1=(w{\\times}(P-Q))/(v{\\times}w)=cross(w,P-Q)/cross(v,w)$

点到直线距离

简单，画图验证即可。基本就是直线上任取一点，叉积算出某个平行四边形的面积，再除以底。

直线上有点A、B，P到直线的距离是$(B-A){\\times}(P-a)/|(B-A)|$

如果不取绝对值，那么返回的是有向距离：

//（未验证）沿直线上两点形成有向线段方向看去，如果点在右侧那么为负，如果点在左侧则为正。

namespace X
{
    const double eps=1e-10;
    struct Point
    {
        double x,y;
        Point(double x=0,double y=0):x(x),y(y){}
    };
    typedef Point Vec;
    Vec operator+(const Vec& a,const Vec& b)
    {
        return Vec(a.x+b.x,a.y+b.y);
    }
    Vec operator-(const Vec& a,const Vec& b)
    {
        return Vec(a.x-b.x,a.y-b.y);
    }
    Vec operator*(const double& a,const Vec& b)
    {
        return Vec(a*b.x,a*b.y);
    }
    Vec operator*(const Vec& a,const double& b)
    {
        return Vec(b*a.x,b*a.y);
    }
    Vec operator/(const Vec& a,const double& b)
    {
        return Vec(a.x/b,a.y/b);
    }
    int dcmp(double x)
    {
        if(fabs(x)<eps)    return 0;
        return x<0?-1:1;
    }
    bool operator==(const Vec& a,const Vec& b)
    {
        return dcmp(a.x-b.x)==0&&dcmp(a.y-b.y)==0;
    }
    double dot(const Vec& a,const Vec& b)
    {
        return a.x*b.x+a.y*b.y;
    }
    double len(const Vec& x)
    {
        return sqrt(dot(x,x));
    }
    double angle(const Vec& a,const Vec& b)
    {
        return acos(dot(a,b)/len(a)/len(b));
    }
    double cross(const Vec& a,const Vec& b)
    {
        return a.x*b.y-a.y*b.x;
    }
    Vec Rotate(const Vec& a,const double& rad)
    {
        return Vec(a.x*cos(rad)-a.y*sin(rad),a.x*sin(rad)+a.y*cos(rad));
    }
    Point get_line_intersection(const Point& p,const Vec& v,const Point& q,const Vec& w)
    {
        return p+v*cross(w,p-q)/cross(v,w);
    }
    double dis_to_line(const Point& p,const Point& a,const Point& b)
    {
        Vec v1=b-a,v2=p-a;
        return fabs(cross(v1,v2)/len(v1));
    }
    double dis_to_seg(const Point& p,const Point& a,const Point& b)
    {
        if(a==b)    return len(p-a);
        Vec v1=b-a,v2=p-a,v3=p-b;
        if(dcmp(dot(v1,v2))<0)    return len(v2);
        else if(dcmp(dot(v1,v3))>0)    return len(v3);
        else return fabs(cross(v1,v2)/len(v1));
    }
};