专题总结计算几何（未完）

Posted 2020-12-20 yuigahama

【专题总结】计算几何（未完）

前言

老年人的一些整理。。（复习用）
感觉现在队里数学一般见到都会做，就先不更数学的了。。
因为每次遇到计算几何的题都不敢开，这段时间就先搞这个吧。。
本文大量参考（几乎是搬运）了雅礼中学Hometown的ppt。。。

点，向量，直线，射线，线段,半平面

1.一般用一个数对((x,y))来表示一个点或向量。
2.用一个点和一个向量来表示一个直线（或射线和线段）。
3.用一个直线可以表示一个半平面，即表示向量左边的半平面。。

向量的基本运算

1.向量 + 向量 ： 两维坐标相加减即可。
2.向量 * 标量 ： 两维坐标分别乘上标量。

向量的点积

1.(a cdot b) (=) (|a||b|) (cos) ( heta)
2.设(a) (=) ((x_1,y_1)) , (b) (=) ((x_2,y_2)) ,则有 (a cdot b) (=) (x_1x_2+y_1y_2)

向量的叉积

1.(a imes b) (=) (|a||b|) (sin) ( heta)
2.设(a) (=) ((x_1,y_1)) , (b) (=) ((x_2,y_2)) ,则有 (a imes b) (=) (x_1y_2-y_1x_2)
3.几何意义表示的是以这两个向量为邻边构成的平行四边形的面积，当( heta < 0) 时为正，否则为负。
4.可以用来判断向量的方向，对于向量 (a,b) ,若 (a imes b > 0) ，则 (b) 在 (a) 的逆时针方向。

向量的旋转

1.把向量 (a = (x,y)) 逆时针转( heta) ，得到的向量为 (b = (x cos heta - y sin heta , x sin heta + y cos heta ))

点到直线（线段，射线）的距离

1.到直线距离：用向量叉积算出平行四边形的面积然后除以底边边长。。
2.到线段与射线距离：多讨论几种情况即可。

点到直线的投影(见下图)

1.首先可以求出(AP) (cdot) (AB) (=) (|AC||AB|) 和 (AB) (cdot) (AB) (=) (|AB||AB|) 。
2.于是能求出(frac{|AC|}{|AB|}) , 然后 (C) (=) (A) (+) (AB cdot frac{|AC|}{|AB|})

快速排斥实验

1.对于各种几何形状，我们可以算出一个恰好覆盖了这个图形的矩形。
2.如果要判断两个图形是否相互包含或是相交等各种问题，可以先用这个矩形占据的位置快速判断一下，如果两个的矩形没有交，那肯定包含相交什么的都莫得了。
3.优点是判断很快，缺点是只能大致判断一下。。。

两相交直线的交点

1.将问题简化为直线AB与直线CD相交时，求交点E。
2.通过叉积算出三角形ACD和三角形BCD的有向面积，然后根据比例算出E的坐标值。

判断线段与线段（直线，射线）相交

1.线段与直线：若线段的两点在直线的同侧则不相交，否则相交。用之前叉积判断顺逆时针的方法判定点在直线的哪一侧即可。
2.线段与线段：做两次线段与直线的是否相交，两次都相交则两线段相交，否则不相交。
3.线段与射线：用线段与直线的方法做一遍，然后求一遍交点，判断交点是否在射线上。

判断点是否在多边形内

1.这里介绍的是光线投射算法。
2.可以先用快速排斥判断一下，说不定能节省不少时间。
3.判断这个点是不是在多边形的角或边上。
4.然后我们从这个点出发，射出一条射线，然后跟多边形的所有线段判断是否相交，若相交次数为奇数，则在多边形内，否则在多边形外。
5.为了防止射线与多边形在角上相交，应将斜率设为一个无理数。

任意多边形的周长和面积

1.周长：直接算
2.面积:随便选一个辅助点(O)，然后按顺时针或逆时针顺序枚举多边形上的点。计算(OP_i) ( imes) (O)(P_{i\\% n + 1})得到有向面积，有向面积的总和的绝对值的1/2就是多边形的面积。

任意多边形的重心

1.如果是平面上若干个离散的带权点的话，就能轻松算出重心了。公式：
(X=（x1*m1+x2*m2+...+xn*mn）/(m1+m2+...+mn));
(Y=（y1*m1+y2*m2+...+yn*mn）/(m1+m2+...+mn))；
2.考虑把多边形转化成上面的形式，以第一个点为极点，然后和其余每相邻两个点求一次三角形有向面积以及三角形重心。
3.把这些三角形的重心当成离散的点，把对应三角形有向面积当成点的权值，就转化成了1的模型了。

例题1 Lifting the Stone

极角排序

1.选定一个辅助点，并以此为极坐标原点，然后按照角度来排序。。

例题 二人の星座

凸包

1.求点集的凸包（这个过水已省略。。）
例题1 Airport
例题2 妖怪

闵可夫斯基和

1.给定凸包(A)和(B),得到一个凸包(C),满足({ { c|c=a+b,a in A, b in B }}),称(C)为(A)和(B)的闵可夫斯基和。
2.求闵可夫斯基和：首先可以将(A)和(B)的最最左下的点相加，显然这个点应该存在于(C)的凸包上。由于闵可夫斯基和的凸包上的每条边都应对应着原来两个凸包的边，所以直接将原来的边极角排序之后依次加上去。最后就得到了凸包(C)。
例题1 战争

动态凸包

1.动态插入点，并在过程中进行一些询问。（不支持既有插入又有删除的。。）
2.只有删除的话可以时间倒流变成插入。
3.具体做法就是用set维护一个极角序凸包，插入直接lower_bound找位置，然后按照一般凸包的规则删掉一些前驱和后驱。
4.维护极角序的凸包需要一个极点，这个极点可以在刚开始只有三个点的时候直接取三角形的重心。
例题1 Professor‘s task