隐马尔可夫模型(HMM)

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了隐马尔可夫模型(HMM)相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

原文地址:http://www.cnblogs.com/jacklu/p/7753471.html

本文结合了王晓刚老师的ENGG 5202 Pattern Recognition课程内容知识,和搜集的资料和自己理解的总结。

1 概述

隐马尔可夫模型(Hidden Markov Model,HMM)是结构最简单的贝叶斯网,这是一种著名的有向图模型,主要用于时序数据建模(语音识别、自然语言处理等数据在时域有依赖性的问题)。

如果考虑t时刻数据依赖于0到t-1时间段的所有数据,即image,在计算复杂度上是不可行的。因此Markov Model假定只依赖于最近的几个观测数据。

下面先从一个直观的例子理解HMM:

假设有三个不同的骰子(6面、4面、8面),每次先从三个骰子里选一个,每个骰子选中的概率为image,如下图所示,重复上述过程,得到一串数字[1 6 3 5 2 7]。这些可观测变量组成可观测状态链。

同时,在隐马尔可夫模型中还有一条由隐变量组成的隐含状态链,在本例中即骰子的序列。比如得到这串数字骰子的序列可能为[D6 D8 D8 D6 D4 D8]。

image

隐马尔可夫模型示意图如下所示:

image

图中,箭头表示变量之间的依赖关系。在任意时刻,观测变量(骰子点数)仅依赖于状态变量(哪类骰子),“观测独立性假设”。

同时,t时刻数据依赖于t-1时刻的数据。这就是1阶马尔可夫链,即系统的下一时刻的状态仅由当前状态决定不依赖以往的任何状态(无记忆性),“齐次马尔可夫性假设”。

 

0阶Markov Model:

image

1阶Markov Model:

image 

2阶Markov Model:

 image

1阶HMM

包含状态变量(也叫latent variable,该变量是离散的、未知的、待推断的)image和观测变量(该变量可以是离散的、也可以是连续的)image,如下图所示:

image

其联合分布:image

1.2 HMM中的条件独立(在后续算法推导中非常重要)

image

从概率图模型上给出条件独立的式子非常简单,即遮住某一节点,被分开的路径在给定该节点时独立。

image

上面六个式子,前五个式子很容易从图模型中理解。最后一个式子可以将左边写成imageimage的乘积,然后再将image做分解。

 

假定每个状态有三种取值image,比如上面骰子的种类。参数如下图所示:

image

初始状态参数image

状态转移概率image,即image

观测概率(也叫emission probablity)image,即时刻t、状态image的概率

2 隐马尔可夫模型三要素

以上三个参数构成隐马尔可夫模型三要素:

状态转移概率矩阵A, image

观测概率矩阵B,image

初始状态概率向量image

一个隐马尔可夫模型可由image来指代。

3 隐马尔可夫模型的三个基本问题

(1) 给定模型image,计算其产生观测序列image的概率image, 称作evaluation problem,比如:计算掷出点数163527的概率

(2) 给定模型image和观测序列image,推断能够最大概率产生此观测序列的状态序列image,即使求解image,称作decoding problem,比如:推断掷出点数163527的骰子种类

(3) 给定观测序列image,估计模型image的参数,使计算其产生观测序列的概率image最大,称作learning problem,比如:已知骰子有几种,不知道骰子的种类,根据多次掷出骰子的结果,反推出骰子的种类

这三个基本问题在现实应用中非常重要,例如根据观测序列推测当前时刻最有可能出现的观测值image,这就是基本问题(1);

在语音识别中,观测值为语音信号,隐藏状态为文字,根据观测信号推断最有可能的状态序列,即基本问题(2);

在大多数应用中,人工指定参数模型已变得越来越不可行,如何根据训练样本学得最优参数模型,就是基本问题(3)。

4 三个基本问题的解法

基于两个条件独立假设,隐马尔可夫模型的这三个基本问题均能被高效求解。

4.1 基本问题(1)evaluation problem解法

4.1.1 直接计算法(概念上可行,计算上不可行)

image

通过列举所有可能的长度为T的状态序列image,求各个状态序列与观测序列同时出现的联合概率image,然后对所有可能求和。

计算复杂度image,C是状态个数。算法不可行。

4.1.2 前向算法(t=1,一步一步向前计算)

前向概率image,表示模型image,时刻 t,观测序列为image且状态为image的概率。

image

注意求和式中有K项(Z的状态数),计算复杂度为C*C。

image

通过上式可知,为了得到前向概率image,可以先初始化t=1时刻的概率,然后从第一个节点开始递推计算,每次递推都需要计算一次c*c的的操作,因此总的算法复杂度是image(C和K相同)

image

4.1.3 后向算法

后向概率image,表示模型image,时刻 t,观测序列为image且状态为image的概率。

推导过程:

image

通过上式可知,为了得到后向概率image,可以先初始化t=T时刻的概率,然后从最后一个节点向前递推计算,每次递推都需要计算一次c*c的的操作,因此总的算法复杂度是image(C和K相同)

image

算法高效的关键是其局部计算前向概率,根据路径结构,如下图所示,每次计算直接利用前一时刻计算结果,避免重复计算,减少计算量。

clip_image064[7]

利用前向概率image和后向概率image可以计算:

整个观测序列的概率image

image

给定观测序列,t时刻的状态后验概率image

image

给定观测序列,t时刻从某一状态,在t+1时刻转换成新的状态的后验概率image

image

4.2 基本问题(2)decoding problem解法

4.2.1 近似算法

选择每一时刻最有可能出现的状态,即根据上述计算t时刻的状态后验概率image,选择概率最大的状态,从而得到一个状态序列。这个方法计算简单,此方法但是不能保证整个状态序列的出现概率最大。因为可能两个相邻的状态转移概率为0,即实际上不可能发生这种状态转换。

4.2.2 Viterbi算法

使用动态规划求解概率最大(最优)路径。t=1时刻开始,递推地计算在时刻t状态为i的各条部分路径的最大概率,直到计算到时刻T,状态为i的各条路径的最大概率,时刻T的最大概率即为最优路径的概率,最优路径的节点也同时得到。

如果还不明白,看一下李航《统计学习方法》的186-187页的例题就能明白算法的原理。

image

考虑一个表格数据结构image,存储着t时刻时,状态为j的能够产生观测序列image的最大概率值。

t=1时,image

t>1时

image

           image

维特比算法:

image

使用image记录求解的状态序列。

维特比算法图示:

clip_image082[4]

状态[3 3 3]极为概率最大路径。

4.3 基本问题(3)解法

4.3.1 监督学习方法

给定T个长度相同的(观测序列,状态序列)image作为训练集,使用极大似然估计法来估计模型参数。

转移概率 image 的估计:样本中t时刻处于状态i,t+1时刻转移到状态j的频数为image,则

image

观测概率image和初始状态概率image的估计类似。

4.3.2 Baum-Welch算法

使用EM算法得到模型参数估计式

clip_image094[4]

EM算法是常用的估计参数隐变量的利器,它是一种迭代方法,基本思想是:

(1) 选择模型参数初始值;

(2) (E步)根据给定的观测数据和模型参数,求隐变量的期望;

image

image

(3) (M步)根据已得隐变量期望和观测数据,对模型参数做极大似然估计,得到新的模型参数,重复第二步。

image

作业题:

image

第一问用于理解HMM产生数据的过程,第二问用于理解维特比算法。

自己写的答案(运行结果如上图):

 1 import numpy
 2 import random
 3 
 4 def random_pick(pick_list,probability_list):
 5     x=random.uniform(0,1)
 6     cumulative_probability=0.0
 7     for item,item_probability in zip(pick_list,probability_list):
 8         cumulative_probability+=item_probability
 9         if x < cumulative_probability: break
10     return item
11 
12 Zt=[1,2]
13 Pi=[0.6,0.4]
14 Xt=[1,2,3]
15 a1j=[0.7, 0.3]
16 a2j=[0.4, 0.6]
17 b1j=[0.1, 0.4, 0.5]
18 b2j=[0.6, 0.3, 0.1]
19 x=[-1 for n in range(10)]
20 z=[-1 for n in range(10)]
21 #for function test
22 #temp_counter = 0
23 #for i in range(100):
24 #    if random_pick(Zt,Pi) == 1: temp_counter+=1
25 #print(temp_counter)
26 ##for function test
27 
28 z[0] = random_pick(Zt,Pi)
29 for i in range(10):
30     if z[i] == 1:
31         x[i] = random_pick(Xt, b1j)
32         if i < 9: z[i+1] = random_pick(Zt, a1j)
33     else:
34         x[i]= random_pick(Xt, b2j)
35         if i < 9: z[i+1]= random_pick(Zt, a2j)
36 print(z)
37 print(x)
38 
39 bp=[-1 for n in range(10)]
40 Fi=[[-1,-1] for n in range(10)]
41 for i in range(2):
42     if i == 0:
43         Fi[0][0]=Pi[i]*b1j[x[0]-1]
44         print(\'Fi00\',Fi[0][0])
45     elif i == 1:
46         Fi[0][1]=Pi[i]*b2j[x[0]-1]
47         print(\'Fi01\',Fi[0][1])
48 if Fi[0][0] < Fi[0][1]:
49     bp[0] = 1
50 else:
51     bp[0] = 0
52     
53 for t in range(9):
54     for j in range(2):
55         if j == 0:
56             if bp[t] == 0: 
57                  Fi[t+1][j]=Fi[t][0]*a1j[0]*b1j[x[t+1]-1]
58             elif bp[t] == 1:
59                 Fi[t+1][j]=Fi[t][1]*a2j[0]*b1j[x[t+1]-1]
60         if j == 1:
61             if bp[t] == 0: 
62                 Fi[t+1][j]=Fi[t][0]*a1j[1]*b2j[x[t+1]-1]
63             elif bp[t] == 1:
64                 Fi[t+1][j]=Fi[t][1]*a2j[1]*b2j[x[t+1]-1]
65     print(\'Fit0\',Fi[t+1][0])
66     print(\'Fit1\',Fi[t+1][1])
67     if Fi[t+1][0] < Fi[t+1][1]:
68         bp[t+1] = 1
69     else:
70         bp[t+1] = 0
71 
72 print(bp)#z=bp+1

 

 

参考资料:

CUHK 王晓刚老师的ENGG 5202 Pattern Recognition 课堂讲义

《机器学习》周志华

《统计学习方法》李航

如何用简单易懂的例子解释隐马尔可夫模型https://www.zhihu.com/question/20962240

《Pattern Classification》

《PRML》

以上是关于隐马尔可夫模型(HMM)的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

HMM(隐马尔可夫模型)

02 隐马尔可夫模型 - HMM的三个问题 - 概率计算问题

隐马尔可夫(HMM)模型

一文搞定HMM(隐马尔可夫)

一文搞懂HMM(隐马尔可夫模型)

Python实现HMM(隐马尔可夫模型)