[知识点]从BZOJ4753看01分数规划

Posted 2020-10-12

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了[知识点]从BZOJ4753看01分数规划相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

最近一直在填坑练树形DP，练到树包这一块，然后就开始打[BZOJ4753 最佳团体]

打这道题之前刚刚打了[BZOJ2427 软件安装]，是个有依赖的树形背包，这道题思路也比较相似，就码码码，天真的把 f 数组记录了两维，然后转移的时候硬除下来比较

我还是太年轻了QAQ

Maple神犇上来就说出了01分数规划这种神奇的操作。但是这种操作我原来只是听说过，现在来学习一下，也是非常简单的啊

所谓01分数规划，那么当然要有分数

一般是解决此类问题的：有一堆物品，每一个物品有一个收益ai，一个代价bi，我们要求一个方案使选择的技术分享最大

我们是可以二分答案x的，这样对于每个答案，就有技术分享

变形得技术分享，这样我们就可以把每个物品的权值变为 ai-x*bi，然后再按照题意搞，搞出来的结果如果满足>=0这个条件，意味着还可能存在最优解，于是继续二分下去就好啦

01分数规划通常有这么几种：

（1）基础应用

　　　就像上面这种选物品的，当然也可能加一些改动，比如说只让选n-k个物品啊，只要排一遍序取前n-k个，求和与0比较就好啦

　　　相关例题：poj2976

（2）与其他算法结合

　　①与动规等结合

　　　就是我刚刚做的那个就是与树形有依赖背包结合的01分数规划 BZOJ4753

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define pos(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);i++)
#define pos2(i,a,b) for(int i=(a);i>=(b);i--)
#define N 2511
#define LL long long
using namespace std;
const double eps=1e-5;
struct haha{
    int next,to;
}edge[N*10];
int head[N],cnt=1;
void add(int u,int v){
    edge[cnt].to=v;
    edge[cnt].next=head[u];
    head[u]=cnt++;
}
int n,m,w[N],v[N];
double f[N][N],wei[N];
int out[N],size[N];
double l,r;
void dfs(int x){
    size[x]=1;f[x][0]=0;
    if(out[x]==0){
        f[x][1]=wei[x];
        return;
    }
    for(int i=head[x];i;i=edge[i].next){
        int to=edge[i].to;
        dfs(to);
        int mi=min(m,size[x]);
        pos2(j,mi,0){
            pos(k,0,size[to]){
                if(j+k>m) break;
                f[x][j+k]=max(f[x][j+k],f[x][j]+f[to][k]);
            }
        }size[x]+=size[to];
    }
    pos2(i,m,0){
        if(i>=1){
            f[x][i]=f[x][i-1]+wei[x];
        } 
        else f[x][i]=0;
    }
}
int check(double num){
    pos(i,1,n) wei[i]=(double)v[i]-num*(double)w[i];
    pos(i,1,n) pos(j,1,n) f[i][j]=-100000000;
    dfs(1);
    if(f[1][m]>-eps) return 1;
    return 0;
}
int main(){
    scanf("%d%d",&m,&n);n++;m++;
    pos(i,2,n){
        int x;scanf("%d%d%d",&w[i],&v[i],&x);
        x++;add(x,i);out[x]++;
    }
    r=10000;
    while(l+eps<r){
        double mid=(l+r)/2;
        if(check(mid)) l=mid;
        else r=mid;
    }
    printf("%.3lf",l);
    return 0;
}

　　②与最小生成树结合：最优比率生成树

　　　比如：

　　　给出一个n个点的完全图，每条边有两个权值cost和len。我们求一个生成树使得技术分享最小