矩阵快速幂bzoj1297 [SCOI2009]迷路

Posted 2020-10-12 减维

1297: [SCOI2009]迷路

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Description

windy在有向图中迷路了。 该有向图有 N 个节点，windy从节点 0 出发，他必须恰好在 T 时刻到达节点 N-1。 现在给出该有向图，你能告诉windy总共有多少种不同的路径吗？ 注意：windy不能在某个节点逗留，且通过某有向边的时间严格为给定的时间。

Input

第一行包含两个整数，N T。 接下来有 N 行，每行一个长度为 N 的字符串。 第i行第j列为‘0‘表示从节点i到节点j没有边。 为‘1‘到‘9‘表示从节点i到节点j需要耗费的时间。

Output

包含一个整数，可能的路径数，这个数可能很大，只需输出这个数除以2009的余数。

Sample Input

【输入样例一】
2 2
11
00

【输入样例二】
5 30
12045
07105
47805
12024
12345

Sample Output

【输出样例一】
1

【样例解释一】
0->0->1

【输出样例二】
852

HINT

30%的数据，满足 2 <= N <= 5 ； 1 <= T <= 30 。 100%的数据，满足 2 <= N <= 10 ； 1 <= T <= 1000000000 。

 

题解

首先我们看到T的范围辣么大

再一看求1到n长度为k的路径

这不是明显的矩阵快速幂嘛！

但是问题来了

矩阵快速幂只适用于1的情况，题中边权却不一定为1

这时我们又看到边权属于1到9

那么拆点不就好了么~

把点i拆成i₁~i₉，然后把每个i_i到i_i+1连边，边权为1

然后如果i到j有长为x的边，就在i_x和j₁中间连一条边权为1的边

然后就跑矩阵快速幂就好~

复杂度O（(10*n)³*log t）

代码

//by 减维
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<queue>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<map>
#include<bitset>
#include<algorithm>
#define ll long long
#define p 2009
using namespace std;

struct matrix{
    int a[105][105];
}b,c;

char a[15];
int n;
ll t;

matrix operator * (const matrix&x,const matrix&y)
{
    matrix z;
    for(int i=0;i<=104;++i)
        for(int j=0;j<=104;++j)
            z.a[i][j]=0;
    for(int i=1;i<=n*10;++i)
        for(int j=1;j<=n*10;++j)
            for(int k=1;k<=n*10;++k)
                z.a[i][j]=(z.a[i][j]+x.a[i][k]*y.a[k][j]%p)%p;
    return z;
}

int main()
{
    scanf("%d%lld",&n,&t);
    for(int i=1;i<=n;++i)
        for(int j=1;j<10;++j)
            b.a[(i-1)*10+j][(i-1)*10+j+1]=1;
    for(int i=1;i<=10*n;++i)c.a[i][i]=1;
    for(int i=1;i<=n;++i)
    {
        scanf("%s",a+1);
        for(int j=1;j<=n;++j)
            if(a[j]>‘0‘)b.a[(i-1)*10+a[j]-‘0‘][(j-1)*10+1]=1;
    }
    while(t)
    {
        if(t&1)c=b*c;
        b=b*b;
        t>>=1;
    }
    printf("%d",c.a[1][(n-1)*10+1]);
}