2017.10.27

Posted 2020-10-12

今天主要复习背包内容了，比较基础的dp，好久不打仍然会手生。其实复习考了这么多次，发现我们其实考试的大部分内容都是学过的，但是经常会因为不常打造成“这个我学过，但写不出来”的尴尬局面。所以经常复习，刷刷版子还是很重要的。

还有几道水的就不写了，放几道今天稍微要想一下的

1.金明的预算方案

---

 

题目描述

金明今天很开心，家里购置的新房就要领钥匙了，新房里有一间金明自己专用的很宽敞的房间。更让他高兴的是，妈妈昨天对他说：“你的房间需要购买哪些物品，怎么布置，你说了算，只要不超过N元钱就行”。今天一早，金明就开始做预算了，他把想买的物品分为两类：主件与附件，附件是从属于某个主件的，下表就是一些主件与附件的例子：

主件 附件

电脑 打印机，扫描仪

书柜 图书

书桌 台灯，文具

工作椅 无

如果要买归类为附件的物品，必须先买该附件所属的主件。每个主件可以有0个、1个或2个附件。附件不再有从属于自己的附件。金明想买的东西很多，肯定会超过妈妈限定的N元。于是，他把每件物品规定了一个重要度，分为5等：用整数1~5表示，第5等最重要。他还从因特网上查到了每件物品的价格（都是10元的整数倍）。他希望在不超过N元（可以等于N元）的前提下，使每件物品的价格与重要度的乘积的总和最大。

设第j件物品的价格为v[j]，重要度为w[j]，共选中了k件物品，编号依次为j1，j2，……，jk，则所求的总和为：

v[j1]*w[j1]+v[j2]*w[j2]+ …+v[jk]*w[jk]。（其中*为乘号）

请你帮助金明设计一个满足要求的购物单。

输入输出格式

输入格式：

 

输入的第1行，为两个正整数，用一个空格隔开：

N m （其中N（<32000）表示总钱数，m（<60）为希望购买物品的个数。）

从第2行到第m+1行，第j行给出了编号为j-1的物品的基本数据，每行有3个非负整数

v p q （其中v表示该物品的价格（v<10000），p表示该物品的重要度（1~5），q表示该物品是主件还是附件。如果q=0，表示该物品为主件，如果q>0，表示该物品为附件，q是所属主件的编号）

 

输出格式：

 

输出只有一个正整数，为不超过总钱数的物品的价格与重要度乘积的总和的最大值（<200000）。

 

输入输出样例

输入样例#1： 

1000 5
800 2 0
400 5 1
300 5 1
400 3 0
500 2 0

输出样例#1： 

2200


题解：对于每一个主件，把它以及它搭配各附件的情况分别列举，转换成分组背包。
因为价格是10的倍数，除10后处理，就会优化时空复杂度。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<vector>
using namespace std;
int n,m,v,p,q,dp[30010],ans,k,mp[30010];

struct node{
    int v,w;
    node(int x,int y):v(x),w(y){}
    node(){}
};
vector<node> a[65];
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    n/=10;
    for(int i=1;i<=m;i++){
        scanf("%d%d%d",&v,&p,&q);
        v/=10;
        if(q==0){
            a[++k].push_back(node(v,v*p));
            mp[i]=k;
        }
        else{
            int len=a[mp[q]].size();
            for(int j=0;j<len;j++){
                a[mp[q]].push_back(node(v+a[mp[q]][j].v,a[mp[q]][j].w+v*p)); 
            }
        }
    }
    for(int i=1;i<=k;i++){
        for(int j=n;j>=0;j--)
            for(int k=0;k<(a[i].size());k++){
                if(j>=a[i][k].v)dp[j]=max(dp[j],dp[j-a[i][k].v]+a[i][k].w);
            }
    }
    printf("%d\n",dp[n]*10);
    return 0;
}

 

 

 

2.疯狂的采药

---

 

题目背景

此题为NOIP2005普及组第三题的疯狂版。

此题为纪念LiYuxiang而生。

题目描述

LiYuxiang是个天资聪颖的孩子，他的梦想是成为世界上最伟大的医师。为此，他想拜附近最有威望的医师为师。医师为了判断他的资质，给他出了一个难题。医师把他带到一个到处都是草药的山洞里对他说：“孩子，这个山洞里有一些不同种类的草药，采每一种都需要一些时间，每一种也有它自身的价值。我会给你一段时间，在这段时间里，你可以采到一些草药。如果你是一个聪明的孩子，你应该可以让采到的草药的总价值最大。”

如果你是LiYuxiang，你能完成这个任务吗？

此题和原题的不同点：

1.每种草药可以无限制地疯狂采摘。

2.药的种类眼花缭乱，采药时间好长好长啊！师傅等得菊花都谢了！

输入输出格式

输入格式：

 

输入第一行有两个整数T（1 <= T <= 100000）和M（1 <= M <= 10000），用一个空格隔开，T代表总共能够用来采药的时间，M代表山洞里的草药的数目。接下来的M行每行包括两个在1到10000之间（包括1和10000）的整数，分别表示采摘某种草药的时间和这种草药的价值。

 

输出格式：

 

输出一行，这一行只包含一个整数，表示在规定的时间内，可以采到的草药的最大总价值。

 

输入输出样例

输入样例#1：

70 3
71 100
69 1
1 2

输出样例#1：

140

说明

对于30%的数据，M <= 1000；

对于全部的数据，M <= 10000，且M*T<10000000(别数了，7个0)。

 

题解：完全背包，挺裸的。就是把01背包正过来做。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define maxn 10000010
using namespace std;
int t[maxn],v[maxn],f[maxn];
int main()
{
    int m,n;
    scanf("%d%d",&m,&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
       scanf("%d%d",&t[i],&v[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++)
      for(int j=t[i];j<=m;j++)
        f[j]=max(f[j],f[j-t[i]]+v[i]);
    printf("%d\n",f[m]);
    return 0;
}

 

 

 

3.二叉苹果树

---

 

题目描述

有一棵苹果树，如果树枝有分叉，一定是分2叉（就是说没有只有1个儿子的结点）

这棵树共有N个结点（叶子点或者树枝分叉点），编号为1-N,树根编号一定是1。

我们用一根树枝两端连接的结点的编号来描述一根树枝的位置。下面是一颗有4个树枝的树

2 5 \ / 3 4 \ / 1 现在这颗树枝条太多了，需要剪枝。但是一些树枝上长有苹果。

给定需要保留的树枝数量，求出最多能留住多少苹果。

输入输出格式

输入格式：

 

第1行2个数，N和Q(1<=Q<= N,1<N<=100)。

N表示树的结点数，Q表示要保留的树枝数量。接下来N-1行描述树枝的信息。

每行3个整数，前两个是它连接的结点的编号。第3个数是这根树枝上苹果的数量。

每根树枝上的苹果不超过30000个。

 

输出格式：

 

一个数，最多能留住的苹果的数量。

 

输入输出样例

输入样例#1： 

5 2
1 3 1
1 4 10
2 3 20
3 5 20

输出样例#1： 

21

题解：树形dp，算比较难的一类dp吧，不过这道题还不是很难。
dp[i][j]表示以i为根保留j条的最优解。要先建树，然后dfs。

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;
int dp[2010][2010],w,head[2010],fa[2010],tot,n,tt,sum,cnt,q,u,v;
struct edge{
    int next,v,w;
}E[2010];
void add(int u,int v,int w){
    E[++cnt].v=v;
    E[cnt].w=w;
    E[cnt].next=head[u];
    head[u]=cnt;
}
int dfs(int x){
    int ss=0;
    for(int i=head[x];i;i=E[i].next){
        int v=E[i].v,w=E[i].w;
        if(v==fa[x])continue;
        fa[v]=x;
        ss+=dfs(v)+1;
        for(int j=min(q,ss);j>=1;j--)
            for(int k=min(q,j);k>=1;k--)
                dp[x][j]=max(dp[x][j],dp[x][j-k]+dp[v][k-1]+w);
    }
    return ss;
}
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&q);
    for(int i=1;i<n;i++){
        scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
        add(u,v,w);add(v,u,w);
    }
    dfs(1);
    printf("%d",dp[1][q]);
    return 0;
}