洛谷 P2822 组合数问题 如题

Posted 2020-10-12 lpl_bys

P2822 组合数问题

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题目描述

组合数C_n^mCnm​表示的是从n个物品中选出m个物品的方案数。举个例子，从（1,2,3) 三个物品中选择两个物品可以有（1,2),(1,3),(2,3)这三种选择方法。根据组合数的定 义，我们可以给出计算组合数的一般公式：

C_n^m=\\frac{n!}{m!(n - m)!}Cnm​=m!(n−m)!n!​

其中n! = 1 × 2 × · · · × n

小葱想知道如果给定n,m和k，对于所有的0 <= i <= n，0 <= j <= min(i,m)有多少对 (i,j)满足C_i^jCij​是k的倍数。

输入输出格式

输入格式：

 

第一行有两个整数t,k，其中t代表该测试点总共有多少组测试数据，k的意义见 【问题描述】。

接下来t行每行两个整数n,m，其中n,m的意义见【问题描述】。

 

输出格式：

 

t行，每行一个整数代表答案。

 

输入输出样例

输入样例#1： 复制

1 2
3 3

输出样例#1： 复制

1

输入样例#2： 复制

2 5
4 5
6 7

输出样例#2： 复制

0
7

说明

【样例1说明】

在所有可能的情况中，只有C_2^1 = 2C21​=2是2的倍数。

【子任务】

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写这道题之前，首先要知道二项式定理、杨辉三角、组合数公式以及它们之间的关系

题目给你组合数公式，难不成直接计算？不存在的。看数据范围就知道了

 

就是利用杨辉三角及二项式定理求组合数的过程

得出的递推式为：

 

 

详细见代码：

 

 1 #include<stdio.h>
 2 #include<iostream>
 3 #define maxn 2010
 4 using namespace std;
 5 int t,k,n,m,s[maxn][maxn],ans,f[maxn][maxn];
 6 int main(){
 7     scanf("%d %d",&t,&k);
 8     for(int i=0;i<maxn;i++) s[i][0]=s[i][i]=1;//边界值，把杨辉三角写出来就知道了 
 9     for(int i=1;i<maxn;i++)
10        for(int j=1;j<maxn;j++)
11        if(i>=j){
12            s[i][j]=(s[i-1][j-1]+s[i-1][j])%k;//算出来的值可能很大，所以需要在这里取摸 
13            f[i][j]=f[i-1][j]+f[i][j-1]-f[i-1][j-1];//f[i][j]即子问题的解，这里是二维前缀和 
14            if(!s[i][j]) f[i][j]++;
15        }
16        else f[i][j]=f[i][i];
17     for(int i=1;i<=t;i++){
18         scanf("%d %d",&n,&m);
19         printf("%d\\n",f[n][m]);
20     }
21     return 0;
22 }

组合数