bzoj3925 [Zjoi2015]地震后的幻想乡

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了bzoj3925 [Zjoi2015]地震后的幻想乡相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

Description

 傲娇少女幽香是一个很萌很萌的妹子,而且她非常非常地有爱心,很喜欢为幻想乡的人们做一些自己力所能及的事情来帮助他们。 这不,幻想乡突然发生了地震,所有的道路都崩塌了。现在的首要任务是尽快让幻想乡的交通体系重新建立起来。幻想乡一共有n个地方,那么最快的方法当然是修复n-1条道路将这n个地方都连接起来。 幻想乡这n个地方本来是连通的,一共有m条边。现在这m条边由于地震的关系,全部都毁坏掉了。每条边都有一个修复它需要花费的时间,第i条边所需要的时间为ei。地震发生以后,由于幽香是一位人生经验丰富,见得多了的长者,她根据以前的经验,知道每次地震以后,每个ei会是一个0到1之间均匀分布的随机实数。并且所有ei都是完全独立的。 现在幽香要出发去帮忙修复道路了,她可以使用一个神奇的大魔法,能够选择需要的那n-1条边,同时开始修复,那么修复完成的时间就是这n-1条边的ei的最大值。当然幽香会先使用一个更加神奇的大魔法来观察出每条边ei的值,然后再选择完成时间最小的方案。 幽香在走之前,她想知道修复完成的时间的期望是多少呢? 

Input

第一行两个数n,m,表示地方的数量和边的数量。其中点从1到n标号。 
接下来m行,每行两个数a,b,表示点a和点b之间原来有一条边。 
这个图不会有重边和自环。 

Output

一行输出答案,四舍五入保留6位小数。 

Sample Input

5 4
1 2
1 5
4 3
5 3

Sample Output

0.800000

HINT 

提示: 

(以下内容与题意无关,对于解题也不是必要的。) 
对于n个[0,1]之间的随机变量x1,x2,...,xn,第k小的那个的期望值是k/(n+1)。 
样例解释: 
对于第一个样例,由于只有4条边,幽香显然只能选择这4条,那么答案就是4条边的ei中最大的数的期望,由提示中的内容,可知答案为0.8。 
数据范围: 
对于所有数据:n<=10, m<=n(n-1)/2, n,m>=1。 
对于15%的数据:n<=3。 
另有15%的数据:n<=10, m=n。 
另有10%的数据:n<=10, m=n(n-1)/2。 
另有20%的数据:n<=5。 
另有20%的数据:n<=8。
 
正解:子集$dp$+微积分。
首先我们要知道一个事情,就是所有答案小于等于$x$的概率的和就是答案的期望,其中$x$可取$[0,1]$的任意数。
这个东西,要用分部积分来证明。。可以去网上别的博客看看,我不是很会。。
然后根据给的提示,我们可以算出所有答案$<$第$k$条边权的期望,再相加得到答案。
那么我们就可以设状态了,设$f[S][i]$表示$S$集合的点,有$i$条边且不连通的方案数,$g[S][i]$表示连通的方案数。
那么我们可以固定一个点,然后枚举和它在同一个集合的点。
那么$f[S][i]=\sum g[T][j]*\binom{cnt[S-T]}{i-j}$,其中$cnt[S]$表示$S$这个集合中的边数,$T$是$S$的子集且包含$S$的一个定点。
然后$g[S][i]=\binom{cnt[S]}{i}-f[S][i]$。
最后我们把$\sum_{i=0}^{m}f[all][i]$相加,再除以$m+1$就得到答案,因为前面算出来的是方案数,还要除概率。
 
 1 #include <bits/stdc++.h>
 2 #define il inline
 3 #define RG register
 4 #define ll long long
 5 
 6 using namespace std;
 7 
 8 struct edge{ int u,v; }e[110];
 9 
10 double c[110][110],f[1024][110],g[1024][110],ans;
11 int cnt[1024],n,m,all;
12 
13 il int gi(){
14   RG int x=0,q=1; RG char ch=getchar();
15   while ((ch<0 || ch>9) && ch!=-) ch=getchar();
16   if (ch==-) q=-1,ch=getchar();
17   while (ch>=0 && ch<=9) x=x*10+ch-48,ch=getchar();
18   return q*x;
19 }
20 
21 int main(){
22 #ifndef ONLINE_JUDGE
23   freopen("mst.in","r",stdin);
24   freopen("mst.out","w",stdout);
25 #endif
26   n=gi(),m=gi(),all=1<<n,c[0][0]=1;
27   for (RG int i=1;i<=m;++i) e[i]=(edge){gi(),gi()};
28   for (RG int i=1;i<=m;++i){
29     c[i][0]=c[i][i]=1;
30     for (RG int j=1;j<i;++j) c[i][j]=c[i-1][j-1]+c[i-1][j];
31   }
32   for (RG int S=1;S<all;++S){
33     for (RG int i=1;i<=m;++i)
34       cnt[S]+=(S>>(e[i].u-1)&1) && (S>>(e[i].v-1)&1);
35     for (RG int u=S & -S,s=(S-1)&S,sub;s;s=(s-1)&S){
36       if (!(u&s)) continue; sub=S^s;
37       for (RG int i=0;i<=cnt[s];++i)
38     for (RG int j=0;j<=cnt[sub];++j)
39       f[S][i+j]+=g[s][i]*c[cnt[sub]][j];
40     }
41     for (RG int i=0;i<=cnt[S];++i) g[S][i]=c[cnt[S]][i]-f[S][i];
42   }
43   for (RG int i=0;i<=m;++i) ans+=f[all-1][i]/c[m][i];
44   printf("%0.6lf\n",ans/(m+1)); return 0;
45 }

 

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