[ZJOI2015]地震后的幻想乡(期望+dp)

Posted 2021-02-01 zh-comld

题目描述

傲娇少女幽香是一个很萌很萌的妹子，而且她非常非常地有爱心，很喜欢为幻想乡的人们做一些自己力所能及的事情来帮助他们。 这不，幻想乡突然发生了地震，所有的道路都崩塌了。现在的首要任务是尽快让幻想乡的交通体系重新建立起来。

幻想乡一共有n个地方，那么最快的方法当然是修复n-1条道路将这n个地方都连接起来。 幻想乡这n个地方本来是连通的，一共有m条边。现在这m条边由于地震的关系，全部都毁坏掉了。每条边都有一个修复它需要花费的时间，第i条边所需要的时间为ei。地震发生以后，由于幽香是一位人生经验丰富，见得多了的长者，她根据以前的经验，知道每次地震以后，每个ei会是一个0到1之间均匀分布的随机实数。并且所有ei都是完全独立的。

现在幽香要出发去帮忙修复道路了，她可以使用一个神奇的大魔法，能够选择需要的那n-1条边，同时开始修复，那么修复完成的时间就是这n-1条边的ei的最大值。当然幽香会先使用一个更加神奇的大魔法来观察出每条边ei的值，然后再选择完成时间最小的方案。 幽香在走之前，她想知道修复完成的时间的期望是多少呢？

题解

ans=Σp(i)*v(i) 1<=i<=m

我们枚举最后的最小生成树上的最大边是rank几，p(i)代表为ranki的概率，v(i)表示它的期望长度，然后出题人告诉我们它等于i/(m+1)。

然后式子变成了

ans=∑p(i)*i/(m+1)  (1<=i<=m)

ans*(m+1)=∑p(i)*i    (1<=i<=m)

考虑右边的东西有什么意义，每一个i的概率都会产生i次贡献，我们可以把它看做是对所有小于等于i的位置产生了一次贡献，这样刚好i次，于是式子变成了

ans*(m+1)=∑L(i) (1<=i<=m)   L(i)表示最小生成树上的最大边大于等于i的概率。

然而这玩意还是不好算。

考虑补集转化

ans*(m+1)=∑B(i-1) (1<=i<=m) B(i)表示用rank前i-1条边无法构成生成树的概率。

然后这东西就可以dp了。

方法和bzoj那道串珠子很像，就是设dp[i][s]表示s集合用i条边无法使s联通的方案数。

再令设一个g[i][s]表示s集合用i条边可以使s联通的方案数。

f[i][s]+g[i][s]=C(sum_edge(s),i)

这个比较显然，我们求f时可以枚举子集

f[i][s]=∑g[k][s‘]*C(sum_edge(s^s‘),j-k)

用这种方法求出f之后就可以用上面的方法求出g来了。

然后我们的i是从边集中任意选出i中，所以最后的dp值要除以C(sum_edge,i)。

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#define M 52
#define N 11
using namespace std;
typedef long long ll;
int n,m,a[N][N],lo[1<<N],ed[1<<N];
ll f[M][1<<N],g[M][1<<N],C[M][M];
double ans;
inline int rd(){
    int x=0;char c=getchar();bool f=0;
    while(!isdigit(c)){if(c==‘-‘)f=1;c=getchar();}
    while(isdigit(c)){x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);c=getchar();}
    return f?-x:x;
}
int main(){
    n=rd();m=rd();int x,y,ma=(1<<n)-1;
    for(int i=1;i<=m;++i){
        x=rd();y=rd();a[x][y]=a[y][x]=1;
    }
    for(int i=1;i<=ma;i<<=1)lo[i]=lo[i>>1]+1; 
    C[0][0]=1;
    for(int i=1;i<=m;++i){
      C[i][0]=1;
      for(int j=1;j<=i;++j)C[i][j]=C[i-1][j]+C[i-1][j-1];
    }
    for(int s=0;s<=ma;++s){
        int x=lo[s&-s];ed[s]=ed[s-(s&-s)];
        for(int j=1;j<=n;++j)if(a[x][j]&&(s&(1<<j-1)))ed[s]++;
        for(int j=0;j<=ed[s];++j){
           for(int S=s&(s-1);S;S=s&(S-1))if(S&(1<<x-1))
             for(int k=0;k<=j;++k)
               if(k<=ed[S]&&j-k<=ed[s^S])f[j][s]+=g[k][S]*C[ed[s^S]][j-k];
           g[j][s]=C[ed[s]][j]-f[j][s];
        }
    }
    for(int i=0;i<=m;++i)ans+=(double)f[i][ma]/C[m][i];ans=ans/(m+1);
    printf("%.6lf",ans);
    return 0;
}