Dijkstra算法

Posted 2020-10-10

    单起点最短路径问题：将加权连通图的一个给定顶点视作起点，找出它到所有其他顶点之间的一系列最短路径。这种最短路径问题不同于旅行商问题，旅行商问题是指从一个起点出发到所有其他顶点的单条最短路径，即从起点出发到目的顶点需要经过所有其他顶点。

    求解单起点最短路径问题的著名算法有多种，其中包括通用的求解完全最短路径问题的Floyd算法，而最著名的单起点最短路径算法为Dijkstra算法。Dijkstra算法不能应用于包含负权重的图，但是实际应用中很少有负权重的图，所以这个限制并不能影响Dijkstra的广泛应用。

算法描述

    Dijkstra算法按照从给定起点到图中顶点的距离，顺序求出最短路径。首先，它求出从起点到最接近起点的顶点之间的最短路径，然后求出第二近的，以此类推。因此，在第i次迭代开始之前，该算法就已经确定了i-1条连接起点和距离起点最近顶点之间的最短路径。

    设G=(V,E)是一个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合（用S表示，初始时S中只有一个源点，以后每求得一条最短路径 , 就将该顶点加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中，算法就结束了），第二组为其余未确定最短路径的顶点集合（用U表示），按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。在加入的过程中，总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。此外，每个顶点对应一个距离，S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度，U中的顶点的距离，是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。

 

具体步骤

     （1）初始时，S只包含源点，即S＝，v的距离为0。U包含除v外的其他顶点，U中顶点u距离为边上的权（若v与u有边）或 ）（若u不是v的出边邻接点）。

     （2）从U中选取一个距离v最小的顶点K，把K加入S中，该选定的距离就是v到K的最短路径长度。

     （3）以k为新考虑的中间点，修改U中各顶点的距离；若从源点v到顶点u（u U）的距离（经过顶点k）比原来距离（不经过顶点k）短，则修改顶点u的距离值，修改后的距离值的顶点k的距离加上边上的权。

     （4）重复步骤（2）和（3）直到所有顶点都包含在S中。

举个栗子

如下图：

则算法实现过程：

已求出的最短路径顶点集合S	未确定的顶点集合U	确定的最短路径
a(-,0)	b(a,3) c(-,∞） d(a,7) e(-,∞)	(a,b)
a(-,0) b(a,3)	c(b,3+4) d(b,3+2) e(-,∞)	(a,b) (b,d)
a(-,0) b(a,3) d(b,3+2)	c(b,7)  e(d,5+4)	(a,b) (b.d) (b,c)
a(-,0) b(a,3) d(b,3+2) c(b,7)	e(d,9)	(a,b) (b.d) (b,c) (e,d)
a(-,0) b(a,3) d(b,3+2) c(b,7) e(d,9)		(a,b) (b.d) (b,c) (e,d)

    需要注意的是，Dijkstra算法的标记和结构与Prim算法的用法十分相似，两者都会从余下顶点的优先队列中选择下一个顶点来构造一个扩展树。但是它们解决的是不同的问题，所操作的优先级也是以不同的方式计算的：Dijkstra算法比较的是路径长度，需要将边的权重相加，而Prim算法则是直接比较给定的权重。

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