清北学堂模拟赛d7t3 天上掉馅饼
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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了清北学堂模拟赛d7t3 天上掉馅饼相关的知识,希望对你有一定的参考价值。
题目描述
小 G 进入了一个神奇的世界,在这个世界,天上会掉下一些馅饼。今天,天上
会随机掉下 k 个馅饼。
每次天上掉下馅饼,小 G 可以选择吃或者不吃(必须在下一个馅饼掉下来之前
作出选择,并且现在决定不吃的话以后也不能吃)。
馅饼有 n 种不同的馅,根据物理定律,天上掉下这 n 种馅饼的概率相同且相互
独立。然而,每一种馅饼 i 都有一个前提馅饼集合 Si。只有当 Si 中的馅饼都吃过
之后,才能吃第 i 种馅饼。比如说,韭菜馅馅饼的 S 中有白菜猪肉馅饼和鲜虾馅饼,
那么小 G 只有在吃过白菜猪肉馅饼和鲜虾馅饼之后,才能吃韭菜馅的馅饼。
同时,每个馅饼还有一个美味值 Pi。今天一天小 G 的幸福度,等于小 G 吃到
的所有馅饼的美味值之和。注意,Pi 可能是负数。
现在考虑,在采用最优策略的前提下,小 G 这一天期望的幸福度是多少?
输入格式
第一行两个正整数 k 和 n,表示馅饼的数量和种类。
以下 n 行,每行若干个数,描述一种馅饼。其中第一个数代表美味值,随后的
整数表示该馅饼的前提馅饼,以 0 结尾。
输出格式
输出一个实数,保留 6 位小数,即在最优策略下期望的幸福度。
样例输入 1
1 2
1 0
2 0
样例输出 1
1.500000
数据范围
对于 20% 的数据,所有的馅饼都没有“前提馅饼”
对于 50% 的数据,1 ≤ k ≤ 10,1 ≤ n ≤ 10
对于 100% 的数据,1 ≤ k ≤ 100,1 ≤ n ≤ 15,美味度为属于 [-10^6; 10^6] 的整数
分析:显然是一道状压dp的题,设f[i][j]为掉落的前i个馅饼中,吃了状态为j的幸福度,当前馅饼i能不能吃取决于状态j是不是i的前提馅饼集合的子集.但是这样并不好维护,我们不知道状态j是否合法.对于这类前面状态约束后面的转移,我们要采用倒着递推的方式来处理.
f[i][j] = max(f[i + 1][j | (1 << (l - 1))] + p[l],f[i + 1][j]).其中l为当前吃的馅饼种类,p为馅饼的幸福度.这样我们从一个已知的合法状态转移到了前面的合法状态.
但是题目要求期望值怎么办呢?期望值实际上就是加权平均值,算一下每一次吃馅饼每一种馅饼掉落的概率,对于第一次吃馅饼,每一种馅饼掉落的概率是1/n,第二次吃馅饼,概率是(1/n) ^ 2,以此类推,所以在转移的时候f[i][j] /= n就可以了.
前面状态约束后面的转移,我们要采用倒着递推的方式来处理!
#include <cstdio> #include <cstring> #include <iostream> #include <algorithm> using namespace std; int k, n, p[20], stu[(1 << 15) + 10]; double f[110][(1 << 15) + 10]; int main() { scanf("%d%d", &k, &n); for (int i = 1; i <= n; i++) { scanf("%d", &p[i]); int x; while (scanf("%d", &x) && x != 0) stu[i] |= (1 << (x - 1)); } for (int i = k; i >= 1; i--) for (int j = 0; j < (1 << n); j++) { for (int l = 1; l <= n; l++) if ((stu[l] & j) == stu[l]) f[i][j] += max(f[i + 1][j], f[i + 1][j | (1 << (l - 1))] + p[l]); else f[i][j] += f[i + 1][j]; f[i][j] /= n; } printf("%.6lf\n", f[1][0]); return 0; }
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