清北学堂模拟赛d7t3 天上掉馅饼

Posted 2020-10-10 zbtrs

题目描述
小 G 进入了一个神奇的世界，在这个世界，天上会掉下一些馅饼。今天，天上
会随机掉下 k 个馅饼。
每次天上掉下馅饼，小 G 可以选择吃或者不吃（必须在下一个馅饼掉下来之前
作出选择，并且现在决定不吃的话以后也不能吃）。
馅饼有 n 种不同的馅，根据物理定律，天上掉下这 n 种馅饼的概率相同且相互
独立。然而，每一种馅饼 i 都有一个前提馅饼集合 Si。只有当 Si 中的馅饼都吃过
之后，才能吃第 i 种馅饼。比如说，韭菜馅馅饼的 S 中有白菜猪肉馅饼和鲜虾馅饼，
那么小 G 只有在吃过白菜猪肉馅饼和鲜虾馅饼之后，才能吃韭菜馅的馅饼。
同时，每个馅饼还有一个美味值 Pi。今天一天小 G 的幸福度，等于小 G 吃到
的所有馅饼的美味值之和。注意，Pi 可能是负数。
现在考虑，在采用最优策略的前提下，小 G 这一天期望的幸福度是多少？
输入格式
第一行两个正整数 k 和 n，表示馅饼的数量和种类。
以下 n 行，每行若干个数，描述一种馅饼。其中第一个数代表美味值，随后的
整数表示该馅饼的前提馅饼，以 0 结尾。
输出格式
输出一个实数，保留 6 位小数，即在最优策略下期望的幸福度。
样例输入 1
1 2
1 0
2 0
样例输出 1
1.500000
数据范围
对于 20% 的数据，所有的馅饼都没有“前提馅饼”
对于 50% 的数据，1 ≤ k ≤ 10，1 ≤ n ≤ 10
对于 100% 的数据，1 ≤ k ≤ 100，1 ≤ n ≤ 15，美味度为属于 [-10^6; 10^6] 的整数
分析：显然是一道状压dp的题，设f[i][j]为掉落的前i个馅饼中，吃了状态为j的幸福度,当前馅饼i能不能吃取决于状态j是不是i的前提馅饼集合的子集.但是这样并不好维护，我们不知道状态j是否合法.对于这类前面状态约束后面的转移，我们要采用倒着递推的方式来处理.

      f[i][j] = max(f[i + 1][j | (1 << (l - 1))] + p[l],f[i + 1][j]).其中l为当前吃的馅饼种类，p为馅饼的幸福度.这样我们从一个已知的合法状态转移到了前面的合法状态.

      但是题目要求期望值怎么办呢？期望值实际上就是加权平均值，算一下每一次吃馅饼每一种馅饼掉落的概率，对于第一次吃馅饼，每一种馅饼掉落的概率是1/n,第二次吃馅饼，概率是(1/n) ^ 2,以此类推，所以在转移的时候f[i][j] /= n就可以了.

前面状态约束后面的转移，我们要采用倒着递推的方式来处理!

 

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

int k, n, p[20], stu[(1 << 15) + 10];
double f[110][(1 << 15) + 10];

int main()
{
    scanf("%d%d", &k, &n);
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        scanf("%d", &p[i]);
        int x;
        while (scanf("%d", &x) && x != 0)
            stu[i] |= (1 << (x - 1));
    }
    for (int i = k; i >= 1; i--)
        for (int j = 0; j < (1 << n); j++)
        {
        for (int l = 1; l <= n; l++)
            if ((stu[l] & j) == stu[l])
            f[i][j] += max(f[i + 1][j], f[i + 1][j | (1 << (l - 1))] + p[l]);
            else
                f[i][j] += f[i + 1][j];
        f[i][j] /= n;
        }
    printf("%.6lf\n", f[1][0]);

    return 0;
}