记数排序 & 桶排序 & 基数排序

Posted 2020-10-09

为什么要写这样滴一篇博客捏...因为一个新初一问了一道水题，结果就莫名其妙引起了战斗。

然后突然发现之前理解的桶排序并不是真正的桶排序，所以写一篇来区别下这三个十分相似的排序辣。

老年菜兔的觉醒！！！

记数排序

记数排序是一种很快的排序算法，但是要很多的空间。

具体的操作：

   

比如说给一个这样的数列：    6 9 3 2 3 5

我萌需要一个数组   a[i] 表示 数列中 数值为 i 的有多少个

这样 就可以 O（n） 处理出这个数组

  read(x);
  a[x]++;

比如辣个栗子的a数组是这样滴

i	1	2	3	4	5	6	7	8	9
a[i]	0	1	2	0	1	1	0	0	1

然后这个数组有什么用捏

可以发现，只需要枚举 i （如栗子里是 1≤i≤9  ）

然后输出 a[i] 个 i 后就是一个从小到大排序后的数列

for i=1 to 9 do (通常可以取数列中的最大数max，这里取栗子的9)
  for j=1 to a[i] do
  write(i,‘ ‘);

这样之后就会输出   2 3 3 5 6 9

这就是记数排序（老年菜兔之前把计数排序误以为是桶排序QAQ）

效率基本为 O（N） 但是有一个缺陷，就是当数列的值十分十分大的时候，数组就开不下了。

这个问题怎么解决好捏，就是桶排序和基数排序辣！

桶排序

桶排序实际上是对计数排序的一些优化，他把时间又换回了一部分空间（计数排序用空间换时间）。

桶排序思想是什么捏？

 

 

继续举个栗子呀  6 9 3 2 3 5 （咦好熟悉）

首先我萌要定一个值 m 这个值可以任意定，但会影响到效率。

m是干什么用的？

不如这样理解一下，计数排序实际上就是用了好多好多个桶 总共 max 个

而桶排序是用了 （max/m） 个桶 所以这个 m 的含义实际上是区间范围。

计数排序是桶排序的一种特殊情况，就是 取 m=1的时候。

这时我萌需要一个数组 a[i,j]表示 第 i 个桶中的第j个元素的数值。

（通常不用数组而是链表，原因是可能有这样的数据 如数列中全都是1-3范围的 这时数组就开不下，如果n十分大）

嗯列个表吧

这里我萌取 m=3 （就是举个栗子）

桶中数据的范围	1~3	4~6	7~9
相应的i（也就是第几个桶）	1	2	3
桶内的元素	3,2,3	6.5	9

这时发现什么捏...每一个桶里的元素是无序的。

所以对每一个桶都做一个其他的排序，如快排。

然后排序后再把这些桶合并起来就好啦

诶？？？每一个桶？辣么效率岂不是很低。

答案是否定的，相反，桶排序效率通常比快排快。

快排的平均效率为O(n log n) 而桶排捏是 O(max/m *m log m) 即 O(max log M) 假设max=n=1000000（1百万）

快排的计算量约 23000000（2300万） 而 桶排序如果取M=2500(既省了一点空间，又有很高的时间效率) 的计算量约 12000000（1200万）

可见桶排序效率也比较高。

而且桶排序每个桶的排序算法还可以换为其他的不一定要快排。

桶排序的应用似乎不多，而似乎很多人搞混了基数排序与桶排序。

相比之下把基数排序误认为是桶排序的人会更多的样子。

所以基数排序的应用应该更广。

基数排序

基数排序的方法更是神奇，他用到了计数排序的思想。

基数排序的操作我还是要举个栗子...不过图就不放了QAQ不然水的成分有点大

如：543 123 756 666 841 322 10 799 69 (终于换了个栗子，因为上一次栗子次掉了) 

基数排序的操作是这样的。

最低位（个位）为一个关键字，次低位是一个关键字...以此类推。

我萌先对最低位为关键字做一次计数排序。

如果依旧用桶来比喻的话，因为一个位数上只会有0-9 这些数字。

所以就是10个桶

列个表吧

桶	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
第1次操作后 桶里的元素	10	841	322	543,123			756,666			799,69

然后第一次操作后再合并起来就是这样的数列 （注意每一个桶内是无序的，都是按原来数列的位置）

10 841 322 543 123 756 666 799 69

还是一个无序的数列，接着对次低位为关键字做记数排序

桶	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
第2次操作后 桶里的元素		10	322,123		841,543	756	666,69			799

然后第二次操作后再合并起来就是这样的数列（注意每一个桶内依旧是无序的，都是按第一次操作后的数列的位置）

10 322 123 841 543 756 666 69 799

然后就第三低位为关键字做记数排序

 

桶	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
第2次操作后 桶里的元素	010,069	123		322		543	666	756,799	841

然后合并

10 69 123 322 543 666 756 799 841 

这时排序结束，数列有序了。

是不是很神奇捏？

为什么要对每一位都做一次计数排序？

实际上就是改变位置。比如如果出现了 123 124 这样的元素，在原来数列是这样的 124 123

辣么对最低位进行计数排序就可以变成 123 124 从而改变了位置。

好了，辣基数排序的效率? 

设最大值有 d 位

约O（d*n） 的效率 

而d是十分小的，相比桶排序，虽然效率变低了一点，但适用于一些数值十分大的数据。

再扩充一点基排

实际上，这里使用了10个桶，辣么可不可以多用些桶捏？当然可以

我萌可以使用100个桶，讲最低位和次低位看成一个整体 为一个关键字，比如 5678 此时 以78 为一个关键字 56为另一个关键字。

然后操作是一样的但是却只有 d/2个关键字了，从而效率又快了，但空间变多了，变成了100个桶。 

以此类推，还有1000 10000 ...个桶。辣如果不是整10个桶行不行，当然行，这样的话需要把10进制数看为其他进制的数来做计数排序。具体就不细讲啦~

 

 

好啦~讲完啦，总结一下吧，总体来说，三个排序都是用到了计数排序的思想。

桶排序效率高，但数值过大还是无法使用，而基数排序不仅效率高了很多，而且适用数值大的数据。

老年菜兔的讲解结束啦~撒花~