辅助角公式的几何意义

Posted 2020-10-09 假如你是李华

好久没更文了，就随便写点东西吧，虽然有点水。

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所谓「辅助角公式」就是中学数学里面一个平淡无奇的公式：

\\( A\\cos{t}+B\\sin{t} = \\sqrt{A^2+B^2} \\cos(t-\\arctan{\\frac{B}{A}}) \\;\\;\\; (A>0) \\)

或

\\( A\\sin{t} + B\\cos{t} = \\sqrt{A^2+B^2} \\sin(t+\\arctan{\\frac{B}{A}}) \\;\\;\\; (A>0) \\)

对于这个公式，我们的解释一般是「提出 \\( \\sqrt{A^2+B^2} \\), 凑出两角和公式」。

然而这对与几何迷来说并不能满意对吧？

现在我们就来谈谈几何意义。

如果用复数来解释倒是很容易，不过那就开挂了。

所以我打算在实数范围内就把问题说清楚。

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刚才的公式里面，我为什么不把变量写成 \\(x\\), 而是写成 \\(t\\) 呢？

这是因为，从运动的角度来看，可以更好地理解三角函数。

比如说，还有一套三角函数的基本公式叫做诱导公式。

其中有这么一条：　　

\\( \\sin(x+\\frac{\\pi}{2})=\\cos{x} \\)

刚学这个公式的时候我就想，正弦一平移就变成了余弦。

这就说明正弦和余弦的函数图像都是一样的。

也就是说，正弦和余弦本质上并没有什么区别。

当时觉得这相当匪夷所思。

后来就明白了。

如果从运动的角度来考虑，假设有一个点以 1 rad/s 沿单位圆（\\(x^2+y^2=1\\)）做圆周运动，坐标为 \\( (\\cos{t},\\sin{t}) \\).

那么，正弦就是这个运动在 y 轴上的投影，余弦就是在 x 轴上的投影。

x 轴和 y 轴只不过是过原点的有向直线中的两条罢了。

过原点还有无数条有向直线。

因为圆是完美对称的，所以这些直线其实没有高低贵贱之分。

如果把这个点投影到每条直线上，

那么每一个投影，都是圆周运动的投影，都是简谐运动。

这些运动也没有高低贵贱之分。

只不过初相位不同罢了。

x 轴和 y 轴当然也不例外。

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然后我们再回来看辅助角公式。

\\( A\\cos{t}+B\\sin{t} = \\sqrt{A^2+B^2} \\cos(t-\\arctan{\\frac{B}{A}}) \\;\\;\\; (A>0) \\)

右边是一个简谐运动，那么左边也是。

这说明左边也是一个圆周运动的投影。

投影。

想到了什么？

点积。

 \\( A\\cos{t}+B\\sin{t} \\)

\\( = (A,B) \\cdot (\\cos{t},\\sin{t}) \\)

\\( = \\sqrt{A^2+B^2}\\cdot\\mathrm{proj}((\\cos{t},\\sin{t}) \\rightarrow (A,B)) \\)

看看这个式子，再看看下面这张图，是不是有种恍然大悟的感觉？

\\( \\arctan{\\frac{B}{A}} \\) 正是 \\( (A,B) \\) 与 \\(x\\) 轴之间的夹角。

所以这个简谐运动比 \\(x\\) 轴上的投影慢了 \\( \\arctan{\\frac{B}{A}} \\) 个相位。

因此它的表达式就是 \\( \\cos(t-\\arctan{\\frac{B}{A}}) \\).

这是表示成余弦。

要表示成正弦也可以。

我们再作一个 \\( (B,A) \\) 向量。

此时 \\( A \\sin{t} + B \\cos{t} = (B,A) \\cdot (\\cos{t},\\sin{t}) \\).

由于 \\( (B,A) \\) 跟 \\( (A,B) \\) 是关于直线 \\( y=x\\) 对称的，

所以 \\( (B,A) \\) 和 \\(y\\) 轴之间的夹角同 \\( (A,B) \\) 和 \\(x\\) 轴之间的夹角是相等的，

也就是 \\( \\arctan{\\frac{B}{A}} \\).

但是夹角的方向是相反的。

所以这个简谐运动比 \\(y\\) 轴上的投影快了 \\( \\arctan{\\frac{B}{A}} \\) 这么多。

因此它的表达是就是 \\( \\sin(t+\\arctan{\\frac{B}{A}}) \\).

最后补充一下，公式中 \\(A>0\\) 的条件是为了保证 \\(\\arctan\\) 函数能够返回正确的角度。

（完）