51nod 1203 jzplcm

Posted 2020-10-09 qt666

长度为N的正整数序列S，有Q次询问，每次询问一段区间内所有数的lcm(即最小公倍数)。由于答案可能很大，输出答案Mod 10^9 + 7。

 

例如：2 3 4 5，询问[1,3]区间的最小公倍数为2 3 4的最小公倍数 = 12。

Input

第1行：两个整数，N, Q，中间用空格分隔，N为数列长度，Q为询问数量。(2 <= N, Q <= 50000)
第2 - N + 1行：每行1个整数，对应数列中的元素(1 <= S[i] <= 50000)
第N + 2 - N + Q + 1行：每行2个数，l, r，表示询问下标i在[l, r]范围内的S[i]的最小公倍数。(1 <= l <= r <= N)

Output

输出共Q行，对应询问区间的最小公倍数Mod 10^9 + 7。

Input示例

3 3
123
234
345
1 2
2 3
1 3

Output示例

9594
26910
1103310


由于ai很小可以用各种方法乱搞,但这是一道论文题，原题的ai有1e9;
我们考虑这种有关lcm和gcd的题一种常用的处理方法就是分解质因数，这个题我们相当于是要求每个质因子的幂的最大值；
这个就很皮了，因为区间中不同质因子的数量是可能很多的，一个个枚举质因子肯定是假的；
我们可以考虑干这样一个骚操作，我们分解质因数的时候，我们就真的把他分解，比如说这个数有p^q，
那么我们就拆为p^1,p^2,p^3,...,p^q，这么多个数，然后每个数的权值为p，然后问题转化为区间中不同的数的乘积；
这样显然是对的，因为我们假设p这个质因子的最大次幂为q，那么会有p这个数会乘q次，因为有p^1,p^2,p^3...p^q每次都乘了p，满足lcm的定义；
于是我们发现这是一个经典的问题，对于每个数我们肯定是在他第一次出现在区间中的时候计算贡献，那么我们用类似HH的项链和采花的套路，用一个la[i],表示i位置上的数上一次出现的位置；
于是我们变为了询问[l,r]中la[i]<l的数的乘积，我们把询问按照右端点排序用树状数组维护前缀乘积即可，具体实现方法和采花类似；
论文链接里面还有各种做法，以及题目的分析过程

//MADE BY QT666
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<vector>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=300050;
const int Mod=1e9+7;
int n,q,la[N],prime[N],tot,vis[N],a[N],b[N*20],v[N*20],tt,st[N],ed[N];
vector<int> p[N];
void pre(){
    for(int i=2;i<=100000;i++){
	if(!vis[i]) prime[++tot]=i;
	for(int j=i;j<=100000;j+=i) vis[j]=1;
    }
    for(int i=1;i<=tot;i++){
	for(int j=prime[i];j<=100000;j+=prime[i]) p[j].push_back(prime[i]);
    }
}
struct data{
    int l,r,id;
}Q[N];
int last[N];
bool cmp(const data &a,const data &b){
    return a.r<b.r;
}
ll tr[N*20],ans[N];
int lowbit(int x){return x&-x;}
void update(int x,ll v){ 
    if(x==0) return;
    for(int i=x;i<=tt;i+=lowbit(i)) (tr[i]*=v)%=Mod;
}
ll query(int x){
    ll ret=1;
    for(int i=x;i;i-=lowbit(i)){
	(ret*=1ll*tr[i])%=Mod;
    }
    return ret;
}
ll qpow(ll x,ll y){
    ll ret=1;
    while(y){
	if(y&1) (ret*=x)%=Mod;
	(x*=x)%=Mod;y>>=1;
    }
    return ret;
}
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&q);pre();
    for(int i=1;i<=n;i++){
	scanf("%d",&a[i]);
	int x=a[i];st[i]=tt+1;
	for(int j=0;j<p[a[i]].size();j++){
	    int y=p[a[i]][j],z=p[a[i]][j];
	    while(x%y==0){
		b[++tt]=z;v[tt]=y;x/=y;z*=y;
	    }
	}
	ed[i]=tt;
    }
    for(int i=1;i<=q;i++){
	scanf("%d%d",&Q[i].l,&Q[i].r);
        Q[i].l=st[Q[i].l],Q[i].r=ed[Q[i].r],Q[i].id=i;
    }
    for(int i=1;i<=tt;i++) la[i]=last[b[i]],last[b[i]]=i;
    sort(Q+1,Q+1+q,cmp);int l=1;
    tr[0]=1;
    for(int i=1;i<=tt;i++) tr[i]=1;
    for(int i=1;i<=q;i++){
	while(l<=Q[i].r){
	    update(la[l],qpow(v[l],Mod-2)),update(l,v[l]);l++;
	}
	ans[Q[i].id]=query(Q[i].r)*qpow(query(Q[i].l-1),Mod-2)%Mod;
    }
    for(int i=1;i<=q;i++) printf("%lld\\n",ans[i]);
    return 0;
}