Troywar love Maths——莫比乌斯反演

Posted 2020-10-09 Troy Ricardo

　　　　　　　　　　2816. Troywar loves Maths

　　　　　　　　　　　　　　　　★★☆   输入文件：Troy_1.in   输出文件：Troy_1.out   简单对比
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【题目描述】

众所周知，Troywar总是不好好上课看数（xiao）论（shuo）。一天数学老师是在看不下去了，于是决定考（jiao）考（xun）他一下。于是，扔给了Troywar一个问题：给定两个正整数n和m，有多少对1<=i<=n，1<=j<=m使得$a=2^{i}+1,b=2^{j}+1$满足a和b的最大公约数为3。翘课的Troywar当然不会了，他只好求助你。

【输入格式】

两个正整数n,m

【输出格式】

一个整数。

【样例输入】

10 10

【样例输出】

19

【数据范围】

1.10% n,m<=63

2.另有20%数据保证n，m<=1000

3.另有20%数据保证n<=3

4.对于所有数据，保证n,m<=1e7

【来源】

Troywar

题解：

　　 第一次出题，也不知道有没有人做……我们先把n调成n，m中小的，m为较大的。

$\\sum_{i=1}^{n}\\sum_{j=1}^{m}[\\gcd(2^{i}+1,2^{j}+1)==3]$

$首先，我们的要求是3|2^{x}+1$
$2^x+1\\equiv 2^{x\\,\\bmod \\phi(3)}+1(\\bmod)3$
$所以当x为奇数时才可能成立,先令i>j$

$\\;\\;\\;\\;\\gcd(2^{i}+1,2^{j}+1)=\\gcd(2^{i}-2^{j},2^j+1)$
$=\\gcd（2^{i-j}-1,2^j+1）$
$=\\gcd (2^{i-j}+2^j,2^j+1)$

$若i-j>j$
$\\gcd(2^{i}+1,2^{j}+1)=\\gcd(2^{i-2j}+1,2^j+1)$
$否则$
$\\gcd(2^{i}+1,2^{j}+1)=\\gcd(2^{2j-i}+1,2^j+1)$
$联系辗转相除$
$\\gcd(2^{i}+1,2^{j}+1)=2^{\\gcd(i,j)}+1$
$所以有gcd(i,j)==1且i、j为奇数$

$\\therefore Ans=\\sum_{i=1}^{n}\\sum_{j=1}^{m}[\\gcd(i,j)==1\\&i、j为奇数] $

$=\\sum_{i=1}^{n}\\sum_{j=1}^{m}[gcd(i,j)==1]-\\sum_{i=1}^{\\lfloor \\frac n 2\\rfloor}\\sum_{j=1}^{m}[gcd(i,j)==1]-\\sum_{i=1}^{\\lfloor \\frac m 2\\rfloor}\\sum_{j=1}^{n}[gcd(i,j)==1]$

$=\\sum_{d=1}^{n}\\mu(d)\\lfloor \\frac m d\\rfloor\\lfloor \\frac n d\\rfloor-\\sum_{d=1}^{n}\\mu(d)\\lfloor \\frac m d\\rfloor\\lfloor \\frac n {kd}\\rfloor-\\sum_{d=1}^{n}\\mu(d)\\lfloor \\frac m {kd}\\rfloor\\lfloor \\frac n d\\rfloor$

$其中当d为奇数时，k为2，否则k为1$

 

　　对于前10%是为了给暴力分……至于n<=3是为了打表找规律，再结合前10%验证。n,m小于1000……当作给不会反演的分吧……

标程：

　　

 1 #define Troy 09/29/2017
 2 
 3 #include<bits/stdc++.h>
 4 
 5 using namespace std;
 6 
 7 typedef long long ll;
 8 
 9 
10 const int N=1e7+1;
11 
12 int miu[N],prim[N/5],num,sum[N];
13 bool vis[N];
14 
15 inline void init(){
16     miu[1]=1;
17     sum[1]=1;
18     for(int i=2;i<N;i++){
19         if(!vis[i])
20             prim[++num]=i,miu[i]=-1;
21         for(int j=1;prim[j]*i<N;j++){
22             vis[i*prim[j]]=1;
23             if(i%prim[j]==0){
24                 miu[i*prim[j]]=0;
25                 break;
26             }
27             miu[i*prim[j]]=-miu[i];
28         }
29         sum[i]=sum[i-1]+miu[i];
30     }
31 }
32 
33 int n,m;
34 
35 int main(){ init();
36     freopen("Troy_1.in", "r", stdin);
37     freopen("Troy_1.out","w",stdout);
38     scanf("%d%d",&n,&m);
39     if(n>m) n^=m^=n^=m;
40     ll ans=0;
41     for(int i=1;i<=n;i++){
42         ll t=1ll*miu[i]*(n/i)*(m/i),d;
43         if(i&1){
44             d=1ll*miu[i]*(1ll*(n/i)*(m/i/2)+1ll*(n/i/2)*(m/i));
45         }
46         else    
47             d=1ll*2*miu[i]*(n/i)*(m/i);
48         ans+=t-d;
49     }
50     printf("%lld\\n",ans);
51 }