最大上升子序列，最大下降子序列，最大非增子序列

Posted 2020-10-09 东流vip

For example,{1,5,2,4,3,5,6,4,7}的最大上升子序列是{1,2,3,5,6,7}长度为6

现已知原序列a[]，如何求其最大上升子序列，最大下降子序列，最大非增子序列，最大非减子序列的长度？
下面贴出两种方法：1.dp, 2.贪心+二分

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream> 
#include<algorithm>
using namespace std;

#define maxn 1000
const int inf=1<<30;
int a[maxn];//原序列 


int dp[maxn];//dp[i]代表以a[i]结尾的最大非增子序列 
int lnip1(int n) //动态规划，时间复杂度O(n2) 
{
	for(int i=0;i<n;i++)
	dp[i]=1;
	for(int i=1;i<n;i++)
	{
		for(int j=0;j<i;j++)
		{
			if(a[j]>=a[i])//最大非增子序列，若改为a[j]>a[i],即为最大递减子序列 
			{
				dp[i]=max(dp[j]+1,dp[i]);
			}
		}
	}
	int ans=0;
	for(int i=0;i<n;i++)
	{
		ans=max(ans,dp[i]);
	}
	return ans;
	
 } 



 
 int b[maxn];//b[k] 记录前i个数中的长度为k的所有子序列中最后一位最小的值，b数组一定有序 
 int lndp(int n)//最大非递减子序列长度，时间复杂度O(nlogn) 
 {
 	for(int i=0;i<=n+1;i++)
 	b[i]=inf;
 	for(int i=0;i<n;i++)
 	{
 	    int pos=lower_bound(b,b+i+1,a[i])-b;//如果是严格递增(lip)用upper_bound 
 		b[pos]=a[i];
	 }
	 int ans;
	 for(ans=0;b[ans]!=inf;ans++);
	 return ans;
	//如果题目要求求最大非递增子序列(lnip)长度，只需先把数组反过来，再求lndp即可，最大递减类似 
 }
 
 int main()
 {
 	int n;
 	cin>>n;
 	for(int i=0;i<n;i++)
 	cin>>a[i];
 	cout<<lnip1(n)<<endl;
 	cout<<lndp(n);
 }

第一种方法比较简单，不做过多详解_

下面详解第二种贪心+二分，时间复杂度位O(nlongn)的算法（注意：下面以严格上升子序列为例，请把上面代码中的lower_bound换成upper_bound)：

首先，

b[maxn] b[k] 记录前i个数中的长度为k+1的所有上升子序列中最后一位最小的值
记录下最后一位最小的值，是为了能有更大的上升空间
比如序列{1，3，2，3，4}
前三个数{1，3，2}中长度为2的上升子序列有{1，3}和{1，2}，分别对应的b[1](长度为1+1=2的上升子序列的最后一位的值）为3，2，明显，选2这个较小的可以给后面的序列留下更多的上升空间，选2可以是{1，2，3，4}而选3只能是{1，3，4}，b[k]的值尽可能小，
这就是其贪心的思想
b数组一定是严格上升的，因为长度为i的最后一位最优不可能比长度为i-1的最后一位小。
既然b数组是有序的，接下来就能用二分的方法了
先将b的元素最大化，然后将将原序列a的元素一个一个插入到b中合适的位置--b中第一个大于a[i]的位置，这样如果a[i]能够大于b[k]说明a[i]能够放在b[k]（其实是b[k]的值对应的原序列元素）的后面，而到了第一个大于a[i]的位置，
假设那个位置x上的的值为y(y可以为inf),a[x]=y>a[i],再根据上面贪心的思想，何不把结尾换为更小的值a[i]呢，即b[x]=a[i];
这样插入完所有的a[i](其实就是将a[i]插在能以它为结尾的最大子序列长度的位置上），一重循环到最后一个b[i]!=inf,然后这个i+1就是最大上升子序列的长度

 接下来再以{1,5,2,4,3,5,6,4,7}为例，画个图让大家理解理解：

 （字有点差，勿喷）