poj 2891 Strange Way to Express Integers（中国剩余定理）

Posted 2020-06-09

http://poj.org/problem?id=2891

题意：求解一个数x使得 x%8 = 7,x%11 = 9;
　　　若x存在，输出最小整数解。否则输出-1；

ps:

思路：这不是简单的中国剩余定理问题，由于输入的ai不一定两两互质，而中国剩余定理的条件是除数两两互质。
　　　这是一般的模线性方程组，对于
　　　　X mod m1=r1
　　　　X mod m2=r2
　　　　...
　　　　...
　　　　...
　　　　X mod mn=rn
首先，我们看两个式子的情况
X mod m1=r1……………………………………………………………(1)
X mod m2=r2……………………………………………………………(2)
则有 
X=m1*k1+r1………………………………………………………………(*)
X=m2*k2+r2
那么 m1*k1+r1=m2*k2+r2
整理，得
m1*k1-m2*k2=r2-r1
令(a,b,x,y,m)=(m1,m2,k1,k2,r2-r1)。原式变成
ax+by=m
熟悉吧？

此时，由于GCD(a,b)=1不一定成立，GCD(a,b) | m 也就不一定成立。所以应该先判 若 GCD(a,b) | m 不成立，则！！
。方程无解！
！！
。
否则，继续往下。

解出(x,y)，将k1=x反代回（*）。得到X。
于是X就是这两个方程的一个特解，通解就是 X‘=X+k*LCM(m1,m2)
这个式子再一变形，得 X‘ mod LCM(m1,m2)=X
这个方程一出来。说明我们实现了(1)(2)两个方程的合并。

令 M=LCM(m1,m2)。R=r2-r1
就可将合并后的方程记为 X mod M = R。

然后，扩展到n个方程。
用合并后的方程再来和其它的方程按这种方式进行合并，最后就能仅仅剩下一个方程 X mod M=R，当中 M=LCM(m1,m2,...,mn)。
那么，X便是原模线性方程组的一个特解，通解为 X‘=X+k*M。

假设，要得到X的最小正整数解，就还是原来那个方法：

X%=M;
if (X<0) X+=M;

#include <stdio.h>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <set>
#include <map>
#include <vector>
#include <math.h>
#include <string.h>
#include <queue>
#include <string>
#include <stdlib.h>
#define LL long long
#define _LL __int64
#define eps 1e-8

using namespace std;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int maxn = 10;

_LL k;
_LL M;

_LL extend_gcd(_LL a,_LL b,_LL &x,_LL &y)
{
    if(b == 0)
    {
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    }
    else
    {
        _LL r = extend_gcd(b,a%b,x,y);
        _LL t = x;
        x = y;
        y = t-a/b*y;
        return r;
    }
}

int main()
{
    _LL a1,m1,a2,m2,x,y,i,d;
    while(scanf("%lld",&k)!= EOF)
    {
        bool flag = true;
        scanf("%lld %lld",&m1,&a1);
        for(i = 1; i < k; i++)
        {
            scanf("%lld %lld",&m2,&a2);

            d = extend_gcd(m1,m2,x,y);

            if((a2-a1)%d != 0)
                flag = false;

            _LL t = m2/d;
            x *= (a2-a1)/d;
            x = (x%t + t)%t;
            //注意新的m1,a1是怎么得来的
            a1 = x*m1+a1;
            m1 = m1*m2/d;
            a1 = (a1%m1+m1)%m1;
        }
        if(flag == true)
            printf("%lld\n",a1);
        else printf("-1\n");

    }
    return 0;
}