图论算法之(割点)

Posted 2020-10-08 star_eternal

从一到题说起：

所谓割点，就是一个连通无向图中，删除某一点和与它连接的所有的边后，剩下的点不再连通，则这个点是关节点。
题目：给定无向图的点数（N），边数（M），以及M条边，输出图的所有关节点，以由到大输。
N<=100000，M<=300000
样例：
输入：
10 17
2 1
2 6
2 8
3 2
3 5
4 2
4 7
5 3
5 4
6 3
7 1
7 2
7 3
7 5
8 2
9 6
10 8
输出：
3
2 6 8 
样例第一行为N和M，接下来M行为M条边。输出第一行为割点个数，接下来由小到大输出割点的编号。

一看到这道题，就想，把任意一个点给去掉，然后遍历一次，看是否位连通图，如果不是，就是割点。

但是这样的复杂度是O(n(n+m))严重超时

好吧，我们务必要钻研出dfs的特性，使之在线性时间，即O(n+m)时间内求出割点

第一我们知道在遍历时一定会出现割点吧，这不是废话吗

然后我们想根节点的成为割点的条件，必须是有＞2个儿子节点才可以吧(*^▽^*)

然后，就是在搜索时，怎么判断一个点就是割点呢

定理：在无向图的连通图G中，当且仅当一个点u存在一个可遍历的后代节点v无法连回一个比u更老的节点时，这个点u就一个割点

证明：考虑u的任意子节点v。如果v及其还带无法找到一个更老的节点，那么无论如何都无法连回去，反过来，如果存在，那么就一定可以通过那个连回去的点继续连通，则u不是割点。

证毕。

有人说，有可能从当前点连回一个已经出栈的点，不可能，为什么：因为一旦出栈，那么说明他可以搜到的节点已经搜毕。因为这是无向图，那么这个点一定不会连到一个出栈的点上去。

完啦。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define N 100000+10
using namespace std;
int head[N],num;
struct edge{
    int next,to;
};
edge e[2*N*(N-1)];
void add(int from,int to)
{
    e[++num].next=head[from];
    e[num].to=to;
    head[from]=num;
}
int flag[N],dfn[N],low[N];
int tim=0,tot;
int root;
void dfs(int u,int fa)
{
    //vis[u]=1;
    tim++;
    low[u]=dfn[u]=tim;
    int son=0;
    for(int i=head[u];i;i=e[i].next)
    {
        int v=e[i].to;
        //if(v==fa)continue;
        if(!dfn[v])
        {
            son++;
            dfs(v,u);
            low[u]=min(low[u],low[v]);
            if(u!=root&&low[v]>=dfn[u])
                flag[u]=1;
            if(u==root&&son>=2)
                flag[u]=1;    
        }
        else if(v!=fa)
        {
            low[u]=min(low[u],dfn[v]);
        }
    }
    return;
}
int main()
{
    int n,m;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    int x,y;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        scanf("%d%d",&x,&y);
        add(x,y);
        add(y,x);
    }
    root=1;
    dfs(1,root);
    int cnt=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(vis[i]==1)cnt++;
        //printf("%d ",i);
    }
    printf("%d\n",cnt);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(flag[i]==1)printf("%d ",i);
    }
    return 0;
}