机器学习｜数学基础Mathematics for Machine Learning系列之图论：割边割集割点
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机器学习小白阶段
文章仅作为自己的学习笔记 用于知识体系建立以及复习
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系列文章
【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之图论（1）：图的基本概念
【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之图论（2）：图的矩阵表示
【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之图论（3）：路径与连通
【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之图论（4）：有向图的连通性
【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之图论（5）：树及其性质
【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之图论（6）：生成树算法
【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之图论（7）：连通度
3.2 割边、割集、割点
3.2.1 割边与割集
定理3.4
设 G G G是连通图， e ∈ E ( G ) e\\in E(G) e∈E(G)，则 e e e是 G G G的割边的充要条件是 e e e不含在圈中
证明
前提条件是： G G G是连通图， e ∈ E ( G ) e\\in E(G) e∈E(G)
证必要性： e 是 割 边 ⇒ e是割边\\Rightarrow e是割边⇒ e e e不含在圈中
因为 e e e是 G G G的割边，所以 G − e G-e G−e不连通
若 e e e在 G G G中的一个圈上，那么 G − e G-e G−e依然会是连通的，产生矛盾
所以 e e e一定是不含在圈中
证充分性： e e e不含在圈中 ⇒ \\Rightarrow ⇒ e 是 割 边 e是割边 e是割边
设 e = u v e = uv e=uv不在 G G G的任何一个圈上
所以 u , v u,v u,v之间必定只存在一条路径
若还存在其他一条路径 P ( u , v ) P(u,v) P(u,v)，那么 P ( u , v ) + e P(u,v) +e P(u,v)+e则会构成一个圈，与假设相矛盾
所以 G − e G-e G−e不连通，故 e e e是 G G G的割边
推论3.4
设 G G G连通，则 G G G是树的充要条件是 G G G的每条边都是 G G G的割边
定理3.5
设 T T T是连通图 G G G的一颗生成树， e ∉ E ( T ) e\\notin E(T) e∈/E(T)，但 e ∈ E ( G ) e\\in E(G) e∈E(G)，则 T + e T+e T+e含有唯一圈
证明
设 e = x y ∉ E ( T ) e=xy\\notin E(T) e=xy∈/E(T)
则 T T T中一定存在唯一一条路径 P x y P_xy Pxy
T T T是生成树，其中任意两个顶点有且仅有一条路径
所以 P x y + e P_xy+e Pxy+e便是含在 T + e T+e T+e中的一个圈
又因为 P x y P_xy Pxy在 T T T中是唯一的
树中任意两个顶点有且仅有一条路径，具有唯一性
所以圈 P x y + e P_xy+e Pxy+e也是唯一的
补充知识
设 S ⊂ V , S ≠ ϕ , S ′ = V − S ≠ ϕ S \\subset V, S \\neq \\phi ,\\quad S^'=V-S\\neq\\phi S⊂V,S=ϕ,S′=V−S=ϕ
则用 [ S , S ′ ] [S,S^'] [S,S′]表示一个端点在 S S S，另一个端点在 S ′ S^' S′的全体边组成的集合
显然 [ S , S ′ ] [S,S^'] [S,S′]是一个边断集
定义3.3：割集
设 G G G连通，若 [ S , S ′ ] [S,S^'] [S,S′]只把 G G G断成两个分支，则称 [ S , S ′ ] [S,S^'] [S,S′]为 G G G的一个割集
定义3.4
（1）若 H H H是 G G G的子图，则称 H ‾ = G − E ( H ) \\overlineH=G-E(H) H=G−E(H)为 H H H在 G G G中的余图
（2）若 G G G连通， T T T是 G G G的生成子树，则 T T T的余图 ( ‾ T ) = G − E ( T ) \\overline(T)=G-E(T) (T)=G−E(T)称为余树
定理3.6
设 T T T是连通图 G G G的一棵生成树，对 T T T的每条边 e e e有：
- 余树 T ‾ \\overlineT T不含 G G G的割集
- T ‾ + e \\overlineT+e T+e含 G G G的唯一割集
第二点的意思是： T ‾ + e \\overlineT+e T+e中含有 G G G的唯一割集 或者 G G G的割集 ∈ T ‾ + e \\in \\overline T + e ∈T+e
证明：余树 T ‾ \\overlineT T不含 G G G的割集
设
以上是关于机器学习｜数学基础Mathematics for Machine Learning系列之图论：割边割集割点的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章 机器学习｜数学基础Mathematics for Machine Learning系列之图论：树及其性质 机器学习｜数学基础Mathematics for Machine Learning系列之图论：树及其性质 机器学习｜数学基础Mathematics for Machine Learning系列之图论（10）：匹配基本定理 机器学习｜数学基础Mathematics for Machine Learning系列之图论（10）：匹配基本定理 机器学习｜数学基础Mathematics for Machine Learning系列之图论（10）：匹配基本定理 机器学习｜数学基础Mathematics for Machine Learning系列之矩阵理论（16）：向量和矩阵的极限