自然数的传奇魔术：联集公设

Posted 2020-10-08

「道生一，一生二，二生三，三生万物」－老子

 

介绍完配对公设之后，我们已经具备了制造多达两个成员的机器，宛如造出两块钱的印钞机，尽管我们还没有将钱实际印出来。但集合论的「创业」过程并非一帆风顺，罗素诡论就有如金融风暴般席卷我们的理念世界，我们只好先腾出手将它摆平之后再继续「积累资本」。现在就让我们继续用公设化集合论手头上的这两块钱来白手起家吧！

那就先回顾一下目前手头上有哪些武器可资利用。第一个外延公设只是规定集合之间的辨认程序，就是在什么情况下两个集合等同，却没告诉我们可以构造出什么样的集合。这就好比我告诉你两张一模一样的50元钞票可以换成一张100元的钞票，但你却连5毛钱的铜板都没见过一样。第二个分割公设也好不到哪里去，它虽然把罗素诡论解决了，但并没有允诺给我们任何集合。它说的是可以从某个已经存在的集合X中切割出满足特定条件的集合Y。从集合论的「创业」观点来看，这个公设类似一纸空合约，因为如果你已经拥有100元那你铁定拥有其中的20元。

前两个公设只规定集合应该遵守的法规但没有告诉我们如何把集合建立起来。现在来看ZF3空集合公设，它给了我们一个集合，可是里面却什么都没有，等于给了张空头支票。但别灰心，因为整个故事就从这张空头支票开始。

一般我们用记号 来表示空集合，它也可以写成{ }，表示集合里头没有任何成员。而集合的存在是空集公设直接规定的：

ZF3 xy (y∈ x)

说的是(存在)x这样的集合，表示逻辑符号「非」(not)，所以以上公设是说任何集合都不是x的成员，所以它是一个一无所有的集合。但我们所熟悉的自然数0,1, 2, 3…等却都可以从空集合依序造出来。

具体该怎么做? 首先我们用来定义0，所以0= ，接下来怎么办呢? 看来这个公设无法再多给我们什么了，我们现在请出第四个配对公设:

ZF4 xy z u [u∈z → (u=x ∨u=y)]

这个公设允许某个最多包含两个成员的Z集合存在，而且Z = { u: u=x ∨u=y} = {x, y}，有个特殊情况是如果x= y，那么Z就只剩下一个成员{x}。{x} 与{x, x} 在定义上是一样的，也就是说同样的成员不管你写多少遍还是同一个成员。

经由以上分析，配对公设的意思是如果我们手头上已经有了两个集合 (比如x 和 y) ，那么以x为成员的类{x}和以x 与 y为成员的类{x,y}就都是集合。配对公设允许我们抓两个集合来形成最多有两个元素的新集合。

根据ZF3，我们手头上已经有集合，所以再根据配对公设ZF4，{}也可以形成一个集合，它含有一个成员—─就是空集合。手气不错，现在我们已经有和{}两个集合了。聪明的读者可以猜出来，如法泡制再使用一次配对公设，则又可以制造出{, {}}这个集合。把刚刚的成果表列整理一下就是：

0 =  

1 = {} = {0}

2 = {, {}} = {0, 1} 

手气正顺，为什么不继续往下走呢？没有办法了，目前我们只能数到2，比小学一年级的学生还不如，为什么呢? 因为配对公设只容许我们的集合最多装两个成员，多了就违反协会组织规定。

虽然当下我们手头上有三个集合：0，1，2，配对公设允许我们把任两个集合抓出来形成一个新的集合，比如　{0,2}，{0, 1}　都是集合。可是单凭ZF3和ZF4这两个公设的「法力」并不足以形成像{0, 1, 2} 这样的集合，所以一切暂时到此为止，若要继续往下数，那就必须有新的招数才行。

要突破数到二的限制就在于引进一个神奇公设，第五个联集公设（Axiomof Union）:

ZF5 A X [X ∈ A Y (X ∈ Y∧ Y∈)]

既然说是神奇公设，则它的数学形式在外观上就显得有点复杂，牵涉到的变元很多，而且麻烦的是逻辑符号中的量词（，）不容易看出它到底在说什么。不熟悉数理逻辑符号的读者请放心，我将再次用日常语言为你破解这个看似茫无头绪的符号丛林，但首先必须解析这个公设中所涉及的层次。

ZF5讨论到的集合有三个层次：最高的是层，接着的A和Y 属同一层，最低的是X层。为了方便表述这些层次还有联集的概念，我用豌豆来作比喻。中间层的Y集合可以看成一条豌豆，里面有许多豌豆粒，豌豆粒就属于最低的X层。如果将许多豌豆条集成一堆的话，那堆豌豆条就属于层，如下图所示：

      Y      A(X)

a      b      c

联集公设是说如果有一堆豌豆条Y所成的集合，那将所有豌豆条里的豌豆粒(X)抓出来，可以形成一个新的集合A。A集合中的所有成员就是原来所有豌豆条Y中的豆粒。请注意，与A不同之处在于的成员是豌豆条，而A的成员是豌豆粒。但这个比喻跟之前所提到的麻袋比喻有相同的缺点，因为不同的豌豆条中不会有同一颗豌豆粒，但对集合来说却可以允许不同集合包含相同的成员，所以与豌豆比喻稍有不同的是，在Y层的不同集合之间可能会有相同的成员。还好这没有影响新形成的集合A，只要遵照之前所说的原则，同样的成员不管你写多少遍还是同一个就可以了。

联集用符号∪来表示，两个集合A 和B的联集写成A ∪ B，将此符号推广到联集公设的，其中所有成员所形成的联集写成∪ = {X: Y (X ∈ Y∧ Y∈)}。所以

{x, y}∪ {z} = {x, y, z}

{x, y} ∪ {z, t} = {x, y, z, t } 就顺理成章地被定义下来。

有了联集这个武器就我们可以建造出一个新集合{0,1}∪{2}={0, 1, 2}。而{0, 1, 2} = {, {}, {, {}}} ，我们把它定义成 3。用这个新的ZF5居然造出一个新的集合3，再使用一次配对公设发现，{3}也是个集合。然后我们再用一次联集公设把{0, 1, 2} ∪ {3}SBF888胜博发魔术运作一次，又得到一个新的集合 {0, 1, 2, 3}。 

依此类推，我们把这个工作程序复制如下Ｌ：

3= {0, 1, 2} = {, {}, {, {}}}

4 = {0, 1, 2, 3} = {, {}, {, {}}, {, {}, {,{}}}}

等等。

聪明的读者应该已经发现，有了联集公设这个威力无穷的工具，你可以建构出任何自然数，要多大就可以有多大。依照这些公设的运作你会发现所有自然数本质上都是集合，它们不只具有我们从小就被教会的素仆的算术性质，而且都符合严格的集合定义。比如3不只是直观上的数字3，它也同时是以0, 1, 2这三个集合为成员所形成的集合。每一个数字当然还是数字，但它们可以用集合来定义，而且可以从集合论的公设中被依序制造出来。

从哲学的观点俯视整个公设化集合论可以发现，在它里头并不需要假设任何实体事物存在，比如苹果，水牛，原子，茶杯或太阳等等，唯一需要的只有集合。可以说在没学会公设化集合论之前，你并不知道空手套白狼的境界可以有多么高深。只需拥有一个什么都没有的集合，竟然可以凭借ZF3-ZF5这三个公设就让我们从虚无之中建造出所有的自然数，这就是公设化集合论奇迹似的从无中生有的「创业」过程。

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