BZOJ2286[Sdoi2011]消耗战 虚树

Posted 2020-10-08 CQzhangyu

【BZOJ2286】[Sdoi2011]消耗战

Description

在一场战争中，战场由n个岛屿和n-1个桥梁组成，保证每两个岛屿间有且仅有一条路径可达。现在，我军已经侦查到敌军的总部在编号为1的岛屿，而且他们已经没有足够多的能源维系战斗，我军胜利在望。已知在其他k个岛屿上有丰富能源，为了防止敌军获取能源，我军的任务是炸毁一些桥梁，使得敌军不能到达任何能源丰富的岛屿。由于不同桥梁的材质和结构不同，所以炸毁不同的桥梁有不同的代价，我军希望在满足目标的同时使得总代价最小。

侦查部门还发现，敌军有一台神秘机器。即使我军切断所有能源之后，他们也可以用那台机器。机器产生的效果不仅仅会修复所有我军炸毁的桥梁，而且会重新随机资源分布（但可以保证的是，资源不会分布到1号岛屿上）。不过侦查部门还发现了这台机器只能够使用m次，所以我们只需要把每次任务完成即可。

Input

第一行一个整数n，代表岛屿数量。

接下来n-1行，每行三个整数u,v,w，代表u号岛屿和v号岛屿由一条代价为c的桥梁直接相连，保证1<=u,v<=n且1<=c<=100000。

第n+1行，一个整数m，代表敌方机器能使用的次数。

接下来m行，每行一个整数k_i，代表第i次后，有k_i个岛屿资源丰富，接下来k个整数h₁,h₂,…h_k，表示资源丰富岛屿的编号。

Output

输出有m行，分别代表每次任务的最小代价。

Sample Input

10
1 5 13
1 9 6
2 1 19
2 4 8
2 3 91
5 6 8
7 5 4
7 8 31
10 7 9
3
2 10 6
4 5 7 8 3
3 9 4 6

Sample Output

12
32
22

HINT

 对于100%的数据，2<=n<=250000,m>=1,sigma(ki)<=500000,1<=ki<=n-1

题解：特地学了一下虚树的造法。

我们将每次给出的所有点，以及他们影响到的所有点（即他们中任意两点的LCA）都拿出来，然后跑个树形DP就行了。这些点形成的东西叫虚树，问题是怎么建呢？

本人naive的做法：将给出的点按dfs序排序，然后求出相邻两点的LCA，显然这些LCA就是所有点对的LCA，所以这说明虚树的大小是O(k)的。然后我们再将这些点按dfs序排序，然后从左到右模拟DFS的过程，如果下一个点再当前点的子树中，则递归下去，否则回溯。

好吧下面说更NB的做法：先按dfs序排序，然后用栈维护当前的一条链（铭记维护的是链！），那么新加入一个点i+1时，先求出i和i+1的lca，找到这个lca在链上的位置，然后将lca下面的链上的点都弹栈（弹栈的时候顺便连边），最后将lca和i+1扔到栈中。具体做法可以看代码，当然最好还是画画图理解一下。

 

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int maxn=250010;
typedef long long ll;
int n,m,K,cnt,top;
int to[maxn<<1],next[maxn<<1],val[maxn<<1],head[maxn],fa[20][maxn],Log[maxn],dep[maxn];
int p1[maxn],p2[maxn],vis[maxn],p[maxn],st[maxn];
ll s[maxn];
vector<int> ch[maxn];
inline int rd()
{
	int ret=0,f=1;	char gc=getchar();
	while(gc<‘0‘||gc>‘9‘)	{if(gc==‘-‘)f=-f;	gc=getchar();}
	while(gc>=‘0‘&&gc<=‘9‘)	ret=ret*10+gc-‘0‘,gc=getchar();
	return ret*f;
}
inline void add(int a,int b,int c)
{
	to[cnt]=b,val[cnt]=c,next[cnt]=head[a],head[a]=cnt++;
}
inline int MN(int a,int b)	{return dep[a]<dep[b]?a:b;}
void dfs(int x)
{
	p1[x]=++p2[0];
	for(int i=head[x];i!=-1;i=next[i])	if(to[i]!=fa[0][x])
		dep[to[i]]=dep[x]+1,fa[0][to[i]]=x,s[to[i]]=min(s[x],(ll)val[i]),dfs(to[i]);
	p2[x]=p2[0];
}
inline int lca(int a,int b)
{
	if(dep[a]<dep[b])	swap(a,b);
	for(int i=Log[dep[a]-dep[b]];i>=0;i--)	if(dep[fa[i][a]]>=dep[b])	a=fa[i][a];
	if(a==b)	return a;
	for(int i=Log[dep[a]];i>=0;i--)	if(fa[i][a]!=fa[i][b])	a=fa[i][a],b=fa[i][b];
	return fa[0][a];
}
bool cmp(int a,int b)
{
	return p1[a]<p1[b];
}
inline void Add(int a,int b)
{
	if(b)	ch[a].push_back(b);
}
ll solve(int x)
{
	ll tmp=0;
	for(int i=0;i<(int)ch[x].size();i++)	tmp+=solve(ch[x][i]);
	ch[x].clear();
	if(!vis[x])	tmp=min(tmp,s[x]);
	else	tmp=s[x];
	return tmp;
}
int main()
{
	n=rd();
	int i,j,a,b,c;
	memset(head,-1,sizeof(head));
	for(i=1;i<n;i++)	a=rd(),b=rd(),c=rd(),add(a,b,c),add(b,a,c);
	dep[1]=1,s[1]=1ll<<60,dfs(1);
	for(i=2;i<=n;i++)	Log[i]=Log[i>>1]+1;
	for(j=1;(1<<j)<=n;j++)	for(i=1;i<=n;i++)	fa[j][i]=fa[j-1][fa[j-1][i]];
	m=rd();
	for(i=1;i<=m;i++)
	{
		K=rd();
		for(j=1;j<=K;j++)	p[j]=rd(),vis[p[j]]=1;
		sort(p+1,p+K+1,cmp);
		st[top=1]=p[1];
		for(j=2;j<=K;j++)
		{
			a=p[j],b=lca(st[top],a),c=0;
			while(top&&dep[st[top]]>dep[b])	Add(st[top],c),c=st[top--];
			if(st[top]==b)	Add(st[top],c);
			if(dep[st[top]]<dep[b])	Add(b,c),st[++top]=b;
			st[++top]=a;
		}
		while(top>1)	Add(st[top-1],st[top]),top--;
		a=st[1];
		printf("%lld\n",solve(a));
		for(j=1;j<=K;j++)	vis[p[j]]=0;
	}
	return 0;
}//10 1 5 13 1 9 6 2 1 19 2 4 8 2 3 91 5 6 8 7 5 4 7 8 31 10 7 9 3 2 10 6 4 5 7 8 3 3 9 4 6