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Posted 2020-10-08 Only the Strong Survive

problem1 link

枚举指数，然后判断是不是素数即可。

problem2 link

令$f[len][a][b][r]$(r=0或者1)表示子串$init[a,a+len-1]$匹配$goal[b,b+len-1]$,翻转了$r$次的最小代价。

problem3 link

答案的公式很容易推导，为$n*\sum_{i=n-k+1}^{n}\frac{1}{i}$.

调和级数为$H(n)=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{i}$

所以答案为$n*(H(n)-H(n-k))$

由于$n$较大，不能枚举，这里有它的近似公式：

$\frac{1}{24(n+1)^{2}}<H(n)-ln(n+\frac{1}{2})-\gamma<\frac{1}{24n^{2}}$

所以$H(n)-H(n-k)\approx ln(\frac{n+\frac{1}{2}}{n-k+\frac{1}{2}})=ln(\frac{2n+1}{2n-2k+1})$

所以对于$H(n)$的较小部分暴力，然后用近似公式。

 

code for problem1

import java.util.*;
import java.math.*;
import static java.lang.Math.*;

public class StrongPrimePower {
	
	public int[] baseAndExponent(String n) {
		final long m=Long.valueOf(n);
		for(int i=2;i<=60;++i) {
			final int k=cal(i,m);
			if(k==-1) {
				continue;
			}
			if(isprime(k)) {
				return new int[]{k,i};
			}
		}
		return new int[0];
	}



	int cal(int k,long m) {
		int low=1,high=(int)Math.sqrt(m)+1;
		int result=1;
		while(low<=high) {
			int mid=(low+high)>>1;
			if(pow(mid,k,m)>m) {
				high=mid-1;
			}
			else {
				result=Math.max(result,mid);
				low=mid+1;
			}
		}
		if(pow(result,k,m)==m) {
			return result;
		}
		return -1;
	}

	long pow(long a,long b,long n) {
		long result=1;
		while(b>0) {
			if(1==(b&1)) {
				if(result>n/a) {
					return n+1;
				}
				result*=a;
				if(b==1) {
					return result;
				}
			}
			if(a>n/a) {
				return n+1;
			}
			a=a*a;
			b>>=1;
		}
		return result;
	}

	boolean isprime(int n) {
		if(n==1) {
			return false;
		}
		for(long i=2;i*i<=n;++i) {
			if(n%i==0) {
				return false;
			}
		}
		return true;
	}
}

　　

code for problem2

import java.util.*;
import java.math.*;
import static java.lang.Math.*;

public class ReversalChain {

	static final int INF=10000000;

	String init=null;
	String goal=null;
	int n;
	int[][][][] f=null;

	public int minReversal(String init,String goal) {
		this.init=init;
		this.goal=goal;
		n=init.length();
		f=new int[n+1][n][n][2];
		for(int i=0;i<n+1;++i) {
			for(int j=0;j<n;++j) {
				for(int k=0;k<n;++k) {
					for(int t=0;t<2;++t) {
						f[i][j][k][t]=-1;
					}
				}
			}
		}
		int result=dfs(n,0,0,0);
		if(result>=INF) {
			return -1;
		}
		return result;
	}

	int dfs(int len,int a,int b,int t) {
		if(len==0) {
			return 0;
		}
		if(len==1) {
			return init.charAt(a)==goal.charAt(b)?0:INF;
		}
		if(f[len][a][b][t]!=-1) {
			return f[len][a][b][t];
		}
		f[len][a][b][t]=INF;

		if(t==0) {
			if(init.charAt(a)==goal.charAt(b)) {
				f[len][a][b][t]=Math.min(f[len][a][b][t],dfs(len-1,a+1,b+1,0));
			}
			if(init.charAt(a+len-1)==goal.charAt(b+len-1)) {
				f[len][a][b][t]=Math.min(f[len][a][b][t],dfs(len-1,a,b,0));
			}
			if(init.charAt(a)==goal.charAt(b+len-1)) {
				f[len][a][b][t]=Math.min(f[len][a][b][t],dfs(len-1,a+1,b,1)+1);
			}
			if(init.charAt(a+len-1)==goal.charAt(b)) {
				f[len][a][b][t]=Math.min(f[len][a][b][t],dfs(len-1,a,b+1,1)+1);
			}
		}
		else {
			if(init.charAt(a)==goal.charAt(b)) {
				f[len][a][b][t]=Math.min(f[len][a][b][t],dfs(len-1,a+1,b+1,0)+1);
			}
			if(init.charAt(a+len-1)==goal.charAt(b+len-1)) {
				f[len][a][b][t]=Math.min(f[len][a][b][t],dfs(len-1,a,b,0)+1);
			}
			if(init.charAt(a)==goal.charAt(b+len-1)) {
				f[len][a][b][t]=Math.min(f[len][a][b][t],dfs(len-1,a+1,b,1));
			}
			if(init.charAt(a+len-1)==goal.charAt(b)) {
				f[len][a][b][t]=Math.min(f[len][a][b][t],dfs(len-1,a,b+1,1));
			}
		}

		return f[len][a][b][t];
	}
}

　　

code for problem3

import java.util.*;
import java.math.*;
import static java.lang.Math.*;

public class CollectingBonuses {

	final static int LIMIT=10000000;

	public double expectedBuy(String n, String k) {
		long nn=Long.valueOf(n);
		long mm=Long.valueOf(k);
		long m=nn-mm+1;
		double result=0;
		while(m<=LIMIT) {
			result+=1.0/m;
			if(m==nn) {
				return nn*result;
			}
			++m;
		}
		result+=Math.log1p((2*nn-2*m+2.0)/(2.0*m-1));
		return nn*result;
	}
}