bzoj 1414对称的正方形 单调队列+manacher

Posted 2020-10-07 Troy Ricardo

Description

Orez很喜欢搜集一些神秘的数据，并经常把它们排成一个矩阵进行研究。最近，Orez又得到了一些数据，并已经把它们排成了一个n行m列的矩阵。通过观察，Orez发现这些数据蕴涵了一个奇特的数，就是矩阵中上下对称且左右对称的正方形子矩阵的个数。 Orez自然很想知道这个数是多少，可是矩阵太大，无法去数。只能请你编个程序来计算出这个数。

Input

文件的第一行为两个整数n和m。接下来n行每行包含m个正整数，表示Orez得到的矩阵。

Output

文件中仅包含一个整数answer，表示矩阵中有answer个上下左右对称的正方形子矩阵。

Sample Input

5 5
4 2 4 4 4
3 1 4 4 3
3 5 3 3 3
3 1 5 3 3
4 2 1 2 4

Sample Output

27

数据范围
对于30%的数据 n，m≤100
对于100%的数据 n，m≤1000 ，矩阵中的数的大小≤109

题解：

　　蒟蒻写了4h……（本来是想怂，但看到人家说gang了一晚上，然后默默关了网页自己去作了），还有，膜bzoj 1414榜上900B+400MS大佬。

　  首先用manacher，双倍复制原数组，跑出$P_{0,i,j},P_{1,i,j}$，分别表示第i行j列的横着的和竖着的回文半径。

　　显然只要求出每个位置的最大正方形边长答案就出来了。

　　我们以每个位置$(i,j)$为坐标轴原点，显然，我们只要得到x，y轴上的回文半径即可。先讨论x非负轴。同时，对于每个位置我们可以观察发现，在x轴上的位置，应该满足其$x-p[1][i][x]+1<=j$。然后发现对于$(i,j+1)$是可以继承满足$(i,j)$的一部分点，而不能继承的只有$(i,j)$在x轴对应点，同时我们可能会有一部分新点加入$(i,j+1)$的集合点。(⊙v⊙)嗯，这不就是队列的时间关系嘛。

　　然后怎么选取$(i,j)$所能得到的此时尽可能最大值边长呢。我们可以画个图，观察发现，我们在$(i,j)$点集的选取，只和最小值有关，所以当出现第一个不满足$x-p_{1,i,x}+1<=j$的点就没必要再在非负半轴上往后扫了。

　　证明的话倒是挺简单的，就不多说了。

　　以上一结合就得到了我们需要的数据结构，单调队列。

　　那么对于x非正半轴以及y轴的情况也与x非负半轴的情况相同。时间复杂度$O(n^{2})$

　　最后答案累加每个$（i，j）$奇偶性相同的位置即可。

Ps：可能是我打得蠢……都跑不过带$log$的……

代码：

　　

  1 #include<cstdio>
  2 #include<iostream>
  3 #include<cstring>
  4 using namespace std;
  5 inline int read(){
  6     int s=0;char ch=getchar();
  7     while(ch<‘0‘||ch>‘9‘)   ch=getchar();
  8     while(ch>=‘0‘&&ch<=‘9‘) s=s*10+(ch^48),ch=getchar();
  9     return s;
 10 }
 11 int n,m;
 12 int Mar[2010][2010];
 13 int p[2][2010][2010];
 14 inline void manacher(){
 15     for(int i=1;i<=2*n+1;i++){
 16         int pos,mar=0;
 17         for(int j=1;j<=2*m+1;j++){
 18             if(mar>j)   p[0][i][j]=min(p[0][i][pos*2-j],mar-j-1);
 19             else    p[0][i][j]=1;
 20             while(Mar[i][j-p[0][i][j]]==Mar[i][j+p[0][i][j]])   p[0][i][j]++;
 21             if(mar<j+p[0][i][j]-1)
 22                 mar=j+p[0][i][j]-1,pos=j;
 23         }
 24     }
 25     for(int i=1;i<=2*m+1;i++){
 26         int pos,mar=0;
 27         for(int j=1;j<=2*n+1;j++){
 28             if(mar>j)   p[1][i][j]=min(p[1][i][pos*2-j],mar-j-1);
 29             else    p[1][i][j]=1;
 30             while(Mar[j-p[1][i][j]][i]==Mar[j+p[1][i][j]][i])   p[1][i][j]++;
 31             if(mar<j+p[1][i][j]-1)
 32                 mar=j+p[1][i][j]-1,pos=j;
 33         }
 34     }
 35 }
 36 int que[2010],l,r;
 37 int re[2010][2010];
 38 int main(){
 39     n=read(),m=read();
 40     for(int i=1;i<=n;i++)
 41         for(int j=1;j<=m;j++)
 42             Mar[i<<1][j<<1]=read();
 43     for(int i=1;i<=2*n+1;i++)
 44         Mar[i][0]=-2,Mar[i][m+1<<1]=-1;
 45     for(int i=1;i<=2*m+1;i++)
 46         Mar[0][i]=-2,Mar[n+1<<1][i]=-1;
 47     manacher();
 48     for(int i=2;i<=2*n;i++){
 49         l=1,r=0;
 50         for(int j=((i^1)&1)+1,k=1;j<=2*m+1;j+=2){
 51             while(k<=2*m+1&&k-p[1][k][i]+1<=j){
 52                 while(l<=r&&p[1][que[r]][i]>=p[1][k][i])
 53                     r--;
 54                 que[++r]=k;
 55                 k++;
 56             }
 57             while(l<=r&&que[l]<j)
 58                 l++;
 59             re[i][j]=min(que[r]-j+1,p[1][que[l]][i]); 
 60         }
 61         l=1,r=0;
 62         for(int j=2*m+1-((i^1)&1),k=2*m+1;j>=0;j-=2){
 63             while(k&&k+p[1][k][i]-1>=j){
 64                 while(l<=r&&p[1][que[r]][i]>=p[1][k][i])
 65                     r--;
 66                 que[++r]=k--;
 67             }
 68             while(l<=r&&que[l]>j)
 69                 l++;
 70             re[i][j]=min(min(j-que[r]+1,p[1][que[l]][i]),re[i][j]);
 71         }
 72         
 73     }
 74     for(int i=2;i<=2*m;i++){
 75         l=1,r=0;
 76         for(int j=1+((i^1)&1),k=1;j<=2*n+1;j+=2){
 77             while(k<=2*n+1&&k-p[0][k][i]+1<=j){
 78                 while(l<=r&&p[0][que[r]][i]>=p[0][k][i])
 79                     r--;
 80                 que[++r]=k;
 81                 k++;
 82             }
 83             while(l<=r&&que[l]<j)
 84                 l++;
 85             re[j][i]=min(min(que[r]-j+1,p[0][que[l]][i]),re[j][i]); 
 86         }
 87         l=1,r=0;
 88         for(int j=2*n+1-((i^1)&1),k=2*n+1;j;j--){
 89             while(k&&k+p[0][k][i]-1>=j){
 90                 while(l<=r&&p[0][que[r]][i]>=p[0][k][i])
 91                     r--;
 92                 que[++r]=k--;
 93             }
 94             while(l<=r&&que[l]>j)
 95                 l++;
 96             re[j][i]=min(min(j-que[r]+1,p[0][que[l]][i]),re[j][i]);
 97         }
 98     }
 99     int ans=0;
100     for(int i=2;i<=2*n;i++){
101         for(int j=((i^1)&1)+1;j<=2*m+1;j+=2)
102             if((i&1)==(j&1))
103                 ans+=re[i][j]>>1;
104     }
105     printf("%d",ans);
106 }