day 2 - 4 最大公因数 与 （扩展）欧几里得算法

Posted 2020-10-07

一、概念引入

　　GCD，全名Greatest common divisor（最大公因数）。

　　我们以gcd(a,b)表示a与b的最大公因数。

 

二、欧几里得算法（又名辗转相除法）

　　用途：

　　　　求解gcd(a,b)

　　核心公式：

　　　　gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)  （其中a mod b > 0)

　　算法思路：

　　　　（保证a>b）

　　　　当a是b的倍数时，a,b最大公约数为b；

　　　　*PS：此时，a mod b = 0，即gcd(a,b) = gcd(b,a mod b) = gcd(b,0) = b，可用于边界判断；

　　　　当a不是b的倍数时，运用核心公式，直到a‘是b‘的倍数。

　　　　*PS：因为b‘ = (a mod b) < b，所以a,b两个值在不断调用gcd的过程中将逐渐递减，直至b=0；

　　代码：

int gcd(int a,int b)
{
    if(b==0)
        return a;
    else 
    {
        if(a<b)
        {
            a=a+b;//a‘=a+b
            b=a-b;//b = a‘-b = a+b-b = a
            a=a-b;//a‘‘ = a‘-b‘ = a+b-a = b
        }
        return gcd(b,a%b);     
    }
}

　　*核心公式证法1.

　　　　第一步（证明d是a,b公约数时，d也是b,a mod b的公约数【反应正向进行】）：

　　　　——a可以表示成a = kb + r（a，b，k，r皆为正整数，且r<b），

　　　　——则r = a mod b

　　　　——假设d是a,b的一个公约数，记作 d|a, d|b，即a和b都可以被d整除。

　　　　——而r = a - kb，两边同时除以d，r/d = a/d - kb/d = m，由等式右边（a和b都可以被d整除）可知m为整数，

　　　　——因此d|r，已知r = a mod b

　　　　——综上，d|b 且 d|（a mod b）

　　　　——因此d也是b,a mod b的公约数

 

　　　　第二步（证明d是b,a mod b的公约数时，d也是a,b公约数【反应逆向进行】）：

　　　　——假设d是b,a mod b的公约数, 则d|b,d|(a-k*b),k是一个整数,

　　　　——进而d|a.

　　　　——因此d也是a,b的公约数

　　　　——因此（a,b）和（b,a mod b）的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，

 

　　综上,欧几里得算法核心公式得证。

 

三、扩展欧几里得算法

　　用途：

　　　　扩展欧几里得算法 是用来在已知a, b求解一组x，y，

　　　　使它们满足贝祖等式： ax+by = gcd(a, b) =d（解一定存在，根据数论中的相关定理）。

　　　　常用在求解模线性方程及方程组中。

　　　　编程时 exGcd 更多用于求解“中国剩余定理”相关知识。比如“比如n除以5余2，除以13余3，那么n最小是多少，所有的n满足什么条件？”

　　时间复杂度：

　　　　用扩展欧几里得算法求 n 个不超过 m 的正整数的最大公约数的复杂度是 O(n+logm)。

　　代码：

/*已知a,b(a>b),求解x,y,满足ax+by=gcd(a,b),并同时返回gcd(a,b)*/
int exGcd(int a,int b,int &x,int &y)//x,y使用了引用传递的方式 
{
    if(b==0)
    {
        x=1;
        y=0; 
    /*
    当a%b==0时，显然gcd(a,b)=b，
    所以b = gcd(a,b) = gcd(b,a%b) = gcd(b,0)
    此时显然 b*1+0*0 = gcd(b,0) = gcd(a,b)
    故 x=1,y=0
    */
    }
    else
    {
        //g=gcd(a,b)
        int g = exGcd(b,a%b,x,y);
        int t = x;
        x = y;
        y = t - a/b * y;
        return g;
        /*
        求解 x，y的方法的理解：
    　　设 a>b。
    　　1，显然当 b=0，gcd（a，b）=a。此时 x=1，y=0；
    　　2，a>b>0 时
    　　设 ax1+ by1= gcd(a,b);
   　　 bx2+ (a mod b)y2= gcd(b,a mod b);
    　　根据朴素的欧几里德原理有 gcd(a,b) = gcd(b,a mod b);
    　　则:ax1+ by1= bx2+ (a mod b)y2;
    　　即:ax1+ by1= bx2+ (a - [a / b] * b)y2=ay2+ bx2- [a / b] * by2;
    　　也就是ax1+ by1 == ay2+ b(x2- [a / b] *y2);
    　　根据恒等定理得：
    
        x1=y2;
        y1=x2- [a / b] *y2;
    
    　　这样我们就得到了求解 x1,y1 的方法：x1，y1 的值基于 x2，y2.
    　　上面的思想是以递归定义的，因为 gcd 不断的递归求解，一定会有个时候 b=0，
所以递归可以结束。
        */
    }
}

 

四、扩展欧几里德算法的扩展~(--n--*)~

　　用途：

　　　　扩展欧几里德算法不但能计算(a，b)的最大公约数，而且能计算a模b及b模a的乘法逆元（尽管不是最佳算法），即求解“中国剩余定理”。

　　/*鄙人才疏学浅，这一块还没有认真学习，以后再补充吧*/