matlab-非线性方程求根函数及函数曲线绘制

Posted 2020-06-30 tina_ttl

Matlab中提供了许多求解非线性方程（$y=f(x)$）的函数，刚开始使用，真的非常困惑，所有，这里根据matlab的help文档对这些函数做一些小小的总结

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fsolve函数

用来求解非线性方程组：$\boldsymbol{\textit{F}}(\boldsymbol{\mathit{x}}) = \mathbf{0}$；其中，$\boldsymbol{\mathit{x}}$是一个向量或者矩阵，$\boldsymbol{\textit{F}}(\boldsymbol{\mathit{x}})$的返回值是一个vector，下面是具体用法（以x0为初始点，利用优化算法寻找函数fun(x)与y=0的交点，即fun(x) = 0的根）：

局限性：只能求解距离给定初始值最近的那个根

一个方程的情况

$$fun = \boldsymbol{\textit{x}}^{^{2}}+\mathit{x}+1$$

• 在新的m文件中，书写该fun的计算函数

function y = fun(x)
    y = x^2+x-6;
end

• 求解根

初值为-1时：
x = fsolve(@fun,-1)
结果为：result=-3
初值为2时：
x = fsolve(@fun,2)
结果为：result=2

可以看到，当给定的初始值不同时，fsolve的返回值不同，这是因为，fsolve返回的是距离给定初始点较近的那个根（fsolve在计算时，由初始点开始，逐步向零点逼近，当找到零点值后，优化停止，所以，这样的方式只能返回距离给定初始值x0最近的那个零点）

• options参数

这里在求解根的时候，所有的优化参数都是使用的默认值，但实际上，优化参数可以通过options进行设置，可以设置具体优化方法（Algorithm）、是否显示每步迭代的结果（Display）、最大迭代步数（MaxIter）等， 设置方法如下：
options = optimoptions(‘‘,‘‘,‘‘)
x = fsolve(@fun,2,options )

方程组（以包含两个方程的方程组为例）

$$\boldsymbol{\mathit{y}} = \left\{\begin{matrix}y_{1} = x_{1}^{2}+x_{1}-6 = 0 \\ y_{2} = 2x_{2}^{2}+x_{2}-6 = 0 \end{matrix}\right.$$

• 在新的m文件中，书写该fun的计算函数

function y = fun(x)
    y(1) = x(1)^2+x(1)-6;
    y(2) = 2*x(2)^2+x(2)-6;
end

• 求解根

初值为[-1,1]时：
x = fsolve(@fun,[-1,1])
结果为：result=[-3,1]

初值为[2,-1]时：
x = fsolve(@fun,2)
结果为：result=[2,-2]

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fzero函数

用来求解非线性方程的根$\textit{f}(\boldsymbol{\mathit{x}}) = 0$；该函数通过判断$\textit{f}(\boldsymbol{\mathit{x}})$的符号是否发生变化来计算方程的根
具体地，如果x0是方程的根，那么，该函数在点$\boldsymbol{\mathit{x_{0}}}+\Delta$和$\boldsymbol{\mathit{x_{0}}}-\Delta$处的函数值符号一定相反，所以，该函数不能用来求解类似于$\boldsymbol{\mathit{x^{2}}} =0$这样的方程

局限性：只能求解距离给定初始值最近的那个根（与fsolve的局限性形同）

下面给出一个例子：

$$fun = \boldsymbol{\textit{x}}^{^{2}}+\mathit{x}+1$$

• 在新的m文件中，书写该fun的计算函数

function y = fun(x)
    y = x^2+x-6;
end

• 求解根

初值为-1时：
x = fzero(@fun,-1)
结果为：result=-3

初值为2时：
x = fzero(@fun,2)
结果为：fzero=2

初值为区间[-5,5]时：
x = fzero(@fun,[-2,5])
结果为：fzero=2
注意：当给定fzero为初识区间时，要求fun函数在区间的两个端点的符号不同

可以看到，利用该方法求得的结果与利用fsolve的结果相同，也是只能返回距离给定初始值较近的那个根

• options参数

这里的options参数与fsolve的设置方法相同，例如：
options = optimoptions(‘‘,‘‘,‘‘)
x = fzero(@fun,2,options )

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roots函数

该函数用来求解多项式方程的根，roots可以返回多项式函数的所有根，例如，计算如下多项式方程的根：

$$fun = \boldsymbol{\textit{x}}^{^{3}}+2$$

使用方法如下：
roots([1 0 0 2])
这里的[1 0 0 -2]分别是${\textit{x}}^{^{3}}$、${\textit{x}}^{^{2}}$、${\textit{x}}^{^{1}}$、${\textit{x}}^{^{0}}$的系数，结果为：
-1.2599 + 0.0000i
0.6300 + 1.0911i
0.6300 - 1.0911i

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root函数

该函数用来求解符号多项式方程的根，root可以返回符号多项式函数的所有符号根，例如，计算如下多项式方程的根：

$$fun = \boldsymbol{\textit{x}}^{^{3}}+2$$

使用方法如下：

syms x
p = x^3 + 2;
result = root(p,x)
% or result = root(x^3 + 2,x)

结果为：
result =
root(x^3 + 2, x, 1)
root(x^3 + 2, x, 2)
root(x^3 + 2, x, 3)

该结果是符号计算结果（即result是符号变量），如果只是需要该结果作为中间过程，那么直接将result带入其他计算过程即可，但如果需要该result的数值结果，那么可以使用vpa函数，具体地：
result_vpa = vpa(result)
结果如下：
result_vpa =
-1.2599210498948731647672106072782
0.62996052494743658238360530363911 + 1.0911236359717214035600726141898i
0.62996052494743658238360530363911 - 1.0911236359717214035600726141898i
这三个数值就是多项式方程$fun = \boldsymbol{\textit{x}}^{^{3}}+2=0$的三个根
可以看到，与roots的计算结果相同

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方程求解函数小结

fsolve：计算非线性方程组的某个根（距离初始值较近的）
fzero：计算非线性方程的某个根（距离初始值较近那个）
roots:计算多项式方程的所有根
root：计算符号多项式方程的所有根

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Matlab的函数曲线绘制

ezplot函数

绘制函数曲线explot(fun)
默认的显示区间是[-2pi, 2pi]
实际中，可以设置显示区间，利用explot(fun,[xmin,xmax])

• 绘制’显示函数’曲线($y = \boldsymbol{\textit{x}}^{^{2}}$)
  eg1： figure;explot(‘x^2‘)
  结果如下：
  
  可以看到，由于没有指定曲线的x取值范围，所以是默认值[-6.28,6.28]
  eg2： figure;explot(‘x^2‘,[-1,1])
  结果如下：
  
  可以看到，由于设定了区间[-1,1]，所以x轴只在区间[-1,1]内显示

• 绘制’显示函数’曲线($\boldsymbol{\textit{x}}^{^{2}} - y = 0$)
  eg1： figure;explot(‘x^2-y‘)
  结果如下：
  
  可以看到，由于没有指定曲线的x取值范围，所以是x、y轴的默认值都是[-6.28,6.28]、[-6.28,6.28]
  eg2： figure;explot(‘x^2‘,[-1,1,-1,1])
  结果如下：
  
  可以看到，由于设定了区间[-1,1,-1,1]，所以x轴