波利亚（Polya)罐子模型

Posted 2020-10-06 Veritas des Liberty

（波利亚（Polya)罐子模型)罐中有a个白球，b个黑球，每次从罐中随机抽取一球，观察其颜色后，连同附加的c个同色球

 

(波利亚(Polya)罐子模型)罐中有a个白球，b个黑球，每次从罐中随机抽取一球，观察其颜色后，连同附加的c个同色球一起放回罐中，再进行下一次抽取，试用数学归纳法证明：第k次取得白球的概率为(k≥1为整数)．(提示：记A_k={第k次取得白球}，使用全概率公式及归纳假设．) 

[证明]  记A_k={第k次取得白球}，k≥1，今设命题对1≤i≤k-1成立，即对1≤i≤k-1，往证对i=k命题成立．由全概率公式：，又在A₁已经发生的条件下，事件A_k发生等价于罐中有a+c个白球和b个黑球，按题设的抽取规则抽取，第k-1次抽得白球，因而由归纳假设，同理因此命题对i=k成立，由数学归纳法即知道对任何整数k≥1，成立。