bzoj1007[HNOI2008]水平可见直线 半平面交/单调栈

Posted 2020-10-06 GXZlegend

题目描述

在xoy直角坐标平面上有n条直线L1,L2,...Ln,若在y值为正无穷大处往下看,能见到Li的某个子线段,则称Li为可见的,否则Li为被覆盖的.
例如,对于直线:
L1:y=x; L2:y=-x; L3:y=0
则L1和L2是可见的,L3是被覆盖的.
给出n条直线,表示成y=Ax+B的形式(|A|,|B|<=500000),且n条直线两两不重合.求出所有可见的直线.

输入

第一行为N(0 < N < 50000),接下来的N行输入Ai,Bi

输出

从小到大输出可见直线的编号，两两中间用空格隔开,最后一个数字后面也必须有个空格

样例输入

3
-1 0
1 0
0 0

样例输出

1 2

---

题解

半平面交/单调栈

其实一开始学半平面交就是为了这道题，于是码了一发。其中需要在最上方添加一条辅助直线（辅助半平面）以使得半平面交为封闭图形。

代码：

#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#define N 50010
using namespace std;
struct point
{
    double x , y;
    point() {}
    point(double a , double b) {x = a , y = b;}
    point operator+(const point &a)const {return point(x + a.x , y + a.y);}
    point operator-(const point &a)const {return point(x - a.x , y - a.y);}
    point operator*(const double &a)const {return point(a * x , a * y);}
}p[N];
struct line
{
    point p , v;
    double ang;
    int id;
}a[N] , q[N];
inline double cross(point a , point b) {return a.x * b.y - a.y * b.x;}
inline bool left(line a , point b) {return cross(a.v , b - a.p) >= 0;}
inline point inter(line a , line b)
{
    point u = a.p - b.p;
    double tmp = cross(b.v , u) / cross(a.v , b.v);
    return a.p + a.v * tmp;
}
bool cmp1(const line &a , const line &b)
{
    return a.ang == b.ang ? left(a , b.p) : a.ang < b.ang;
}
bool cmp2(const line &a , const line &b)
{
    return a.id < b.id;
}
int main()
{
    int n , i , tot = 1 , l = 1 , r = 1;
    double k , b;
    scanf("%d" , &n);
    for(i = 1 ; i <= n ; i ++ ) scanf("%lf%lf" , &k , &b) , a[i].p = point(0 , b) , a[i].v = point(-1 , -k);
    a[n + 1].p = point(0 , 1e18) , a[n + 1].v = point(1 , 0);
    a[n + 2].p = point(-3e9 , 0) , a[n + 2].v = point(0 , 1);
    a[n + 3].p = point(3e9 , 0) , a[n + 3].v = point(0 , -1);
    for(i = 1 ; i <= n + 3 ; i ++ ) a[i].ang = atan2(a[i].v.y , a[i].v.x) , a[i].id = i;
    sort(a + 1 , a + n + 4 , cmp1);
    for(i = 2 ; i <= n + 3 ; i ++ )
        if(a[i].ang != a[i - 1].ang)
            a[++tot] = a[i];
    q[1] = a[1];
    for(i = 2 ; i <= tot ; i ++ )
    {
        while(l < r && left(a[i] , p[r - 1])) r -- ;
        while(l < r && left(a[i] , p[l])) l ++ ;
        q[++r] = a[i];
        if(l < r) p[r - 1] = inter(q[r - 1] , q[r]);
    }
    while(l < r && left(q[l] , p[r - 1])) r -- ;
    sort(q + l , q + r + 1 , cmp2);
    for(i = l ; i <= r - 3 ; i ++ ) printf("%d " , q[i].id);
    return 0;
}

然后就被D了一顿= =

事实上，本题并不需要复杂的码农半平面交= =

考虑将所有点按照斜率从小到大排序，去重，那么就可以直接把所有直线压入栈中，不满足的弹出。

具体地，如果栈顶直线被当前直线和次栈顶直线完全覆盖，那么就把栈顶弹出。这样维护一个单调栈即可。

如何判断站定直线被覆盖？两种方法：判断栈顶与次栈顶直线的交点是否在当前直线下方（半平面交的写法），或判断栈顶与次栈顶直线的交点是否在当前直线与栈顶直线的交点的右侧（单调栈的写法）。

两种写法均可行，代码中写了第二种，稍微会短一些。

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#define N 50010
using namespace std;
struct data
{
	double k , b;
	int id;
	bool operator<(const data &a)const {return k == a.k ? b > a.b : k < a.k;}
}a[N] , s[N];
int ans[N];
inline double inter(data a , data c)
{
	return (a.b - c.b) / (c.k - a.k);
}
int main()
{
	int n , i , tot = 1 , top = 1;
	scanf("%d" , &n);
	for(i = 1 ; i <= n ; i ++ ) scanf("%lf%lf" , &a[i].k , &a[i].b) , a[i].id = i;
	sort(a + 1 , a + n + 1);
	for(i = 2 ; i <= n ; i ++ )
		if(a[i].k != a[i - 1].k)
			a[++tot] = a[i];
	s[1] = a[1];
	for(i = 2 ; i <= tot ; i ++ )
	{
		while(top > 1 && inter(s[top - 1] , s[top]) >= inter(s[top] , a[i])) top -- ;
		s[++top] = a[i];
	}
	for(i = 1 ; i <= top ; i ++ ) ans[s[i].id] = 1;
	for(i = 1 ; i <= n ; i ++ )
		if(ans[i])
			printf("%d " , i);
	return 0;
}