打印全排列思路

Posted 2020-10-06 Dëm0n

长篇慎入，点击直接跳看最后一段代码

从n个不同的元素中取m个元素（m<=n），按照一定的顺序排列起来，

叫做从n个不同元素取出m个元素的一个排列。

当m=n时，所有的排列情况叫做全排列，比如3的全排列为：

1 2 3
1 3 2

2 1 3
2 3 1

3 1 2
3 2 1

我们先从简单的开始，要求写出代码打印上面的排列情况即可，顺序可以不一致。

分析过程：

首先，我们如何把三位的数字打印出来呢，有两种方式：

printf("%d\\n" ,num);  //num=123

第二种：

printf("%d%d%d\\n",a,b,c); //a=1 b=2 c=3

我认为采用第二种比较好，原因在于第一种需要对位数的考虑，

而我们问题需要对数字位置不断的进行交换，因此第二种也方便于交换。

 

现在知道了如何打印，那么如何交换数字的位置呢？很简单：

void swap(int *a,int *b){
  int tmp = *a;
  *a = *b;
  *b = tmp;
}

 

于是将上面的交换打印结合起来就可以，大概写个模型了

void output(int a,int b,int c){
   printf("%d%d%d\\n",a,b,c);
   swap(&a,&b);
   output(a,b,c);   //递归
}

 

如果此时执行 output(1,2,3)，那么程序将会死循环打印出下面的片段

123
213
..

 

因此我们有两个问题要解决：

1.怎样交换使得所有全排列都能被遍历到？

2.怎样使得递归能够终止？

 

从上面的死循环输出可以观察到，

交换仅仅发生在 第一个数字 与 第二个数字 之间。

如果我们尝试继续对 第二个数字 与 第三个数字 进行交换。

然后递归重复上面这个过程，

1 2 3   //初始值，第一个周期开始

2 1 3   //前两个数字做交换
2 3 1   //后两个数字做交换

...  递归  ...

3 2 1   //前两个数字做交换
3 1 2   //后两个数字做交换

...  递归  ...

1 3 2   //前两个数字做交换
1 2 3   //后两个数字做交换，进入下一个周期

...  递归  ...

...  无限循环 ...

你会发现所有的排列就可以被打印出来了，但是个死循环的打印。

 

如何终止？

只需要找到一个周期的开始特征即可，比如在上面的打印中

初始值是 1 2 3

而所有全排列情况打印完后，下个周期的开始也是 1 2 3

那么可以来个判断a b c 变量是否同时和一开始一样，如果是就退出函数返回。

 

解决两个问题后，修改一下output函数：

void output(int a,int b,int c){
   
   printf("%d%d%d\\n",a,b,c); //打印初始值

   swap(&a,&b);    //交换前两个数字
   printf("%d%d%d\\n",a,b,c);

   swap(&b,&c);    //交换后两个数字

   //一个周期结束的情况发生在这个位置
   if(a==1 && b==2)return;

   output(a,b,c);   //递归

}

 

然后在main函数里面 执行 output(1,2,3) 输出结果如下：

当然为了好看，你可以把交换的顺序改下，先交换后面两个数字，再交换首尾两个数字

 

现在，3的全排列打印出来了，现在我们尝试写个代码可以打印任意一个数的全排列

首先，假如打印4的全排列，如果继续使用上面的代码思路，那么将需要修改：

output(1,2,3)   =>  output(1,2,3,4);

printf("%d%d%d\\n")  =>  printf("%d%d%d%d\\n");  

 

很多地方需要像上面一样添加一个变量，这样的话打印100的全排列，岂不是要写100个变量 或者 参数？？

这样很显然不科学，因此我们换一个问题：输入一个数字，然后打印这个数字的全排列。也就是：

上面原版是：输入三个数字，打印这三个数字全排列，output(1,2,3);

而现在改成：输入一个数字，打印这个数字的全排列，output(3)，需要输出结果与上面相同。

 

现在参数变成了一个，要通过这个参数能将1 2 3 成员表示出来

要能交换这三个数字的其中两个，且不能使用变量多个变量，如何实现呢？

首先我们需要把 1 2 3 这三个数字通过 3 这个数字得到，并将其保存到数组里，很简单：

int i,arr[1024];
for(i=1;i<=3;i++)
   arr[i] = i;   //为了方便操作我们从1开始存储

 

然后遍历数组，对这个数组遍历输出一次，然后交换一次

int i,j;
for(i=1;i<3;i++){
 
   //输出当前的数字组合
   for(j=1;j<=3;j++)
      printf("%d",arr[j]);
   printf("\\n");

   //交换数组两个数字
   swap(&arr[i],&arr[i+1]);

}

 

我们尝试执行 output(3)  ，结果输出如下

 

我们稍微做下修改，

1、当 i 遍历到数组的最后一个元素时，与第一个元素交换

2、将 3 统一用参数n来表示

于是output函数就可以写成

void output(int n){
  int i,j,arr[1024];
  for(i=1;i<=n;i++)    //保存n的全排列成员
     arr[i] = i;

  for(i=1;i<=n;i++){   //遍历数组

    //输出当前数组组合
    for(j=1;j<=n;j++)  
       printf("%d",arr[j]);
    printf("\\n");

    //交换数组的成员位置
    if(i==n) swap(&arr[i],&arr[1]);  //当遍历到最后一个时，与第一个成员做交换
    else swap(&arr[i],&arr[i+1]);    //否则与下一个元素做交换
  }
}

 

那么假如n=3，将数组遍历一次的过程如下：

1 2 3  //初始状态 , i=1
2 1 3  //交换，i=2
2 3 1  //交换，i=3
1 3 2  //交换，i=4，退出循环

 

很显然遍历一次是不足以将所有的排列情况输出出来。

为了使得数组能够继续从下标1为开始遍历，思路就是使用递归

也就是第一次遍历完后，将遍历完后的数组 递归传给函数本身继续遍历

而要保持数组的状态，意味着数组要以参数的形式传递，其次数组的初始化不能再递归里初始。

所以初始化可以放在main函数里，当然既然用到了递归，就需要防止无休止的递归，也就是要找到退出状态

不妨我们再写代码之前分析一下：

传入数组
arr = [0, 1, 2, 3]  //0下标不使用，下面忽略

//开始遍历
[ 1, 2, 3]    // i=1，输出然后交换
[ 2, 1, 3]    // i=2，输出然后交换
[ 2, 3, 1]    // i=3，输出然后与第一个元素交换
[ 1, 3, 2]    // i=4,  退出循环

-----递归-----

传入数组
arr = [0, 1, 3, 2]  //保存上次的状态继续任务,0继续忽略

//开始遍历
[ 1, 3, 2]    // i=1 输出然后交换
[ 3, 1, 2]    // i=2 输出然后交换
[ 3, 2, 1]    // i=3 输出然后与第一个元素交换
[ 1, 2, 3]    // i=4 退出循环，至此我们不需要继续执行了

---因此需要在此写个递归结束判断条件----

 

递归的结束条件与上面思路一样，如果数组与最最开始的状态是一样的

那么表示一个周期已经完成：

int tag = 1;          //标志位
for(i=1;i<=n;i++){
   if(arr[i]!=i){     //如果存在不同继续递归
     tag = 0;
     break;
  }
}
if(tag)return         //如果全相同退出递归

 

那么总的代码如下：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#define MAX 1024

void swap(int *a,int *b){
  int tmp = *a;
  *a = *b;
  *b = tmp;
  return;
}
void output(int n,int arr[]){
  int i,j;
  for(i=1;i<=n;i++){

    //print
    for(j=1;j<=n;j++){
      printf("%d ",arr[j]);
    }
    printf("\\n");

    //swap
    if(i==n)swap(&arr[i],&arr[1]);
    else swap(&arr[i],&arr[i+1]);

  }

  int tag = 1;
  for(i=1;i<=n;i++)
    if(arr[i]!=i){tag=0;break;}

  if(tag)return;

  output(n,arr);
}

int main(){
  int i;
  int n,arr[MAX];
  printf("enter a num:");
  scanf("%d",&n);
  for(i=1;i<=n;i++)
    arr[i]=i;

  output(n,arr);
  return 0;
}

执行结果

 

对于高位数的全排列，上面的思路不适合，其实打印全排列主要需要考虑的是如何安排数字位置之间

的交换，使得每种情况都可以遍历到，想要避免非重复遍历是不可能的，除非有一个很复杂的函数计算

公式，否则单纯的位置交换一定会有不断的重复排列某一种状态，但只要保证打印出来的时候，每个打印

结果不想同即可，如下一段代码，打印7的全排列， 7*6*5*4*3*2*1 = 5040种情况，由于本人能力有限

设计不出来一个可以打印全排列的完美情况，所以下面参考网上文章的代码：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
int n=0;

void swap(int *a, int *b){
     int m;
     m=*a;
     *a=*b;
     *b=m;
}
void perm(int list[], int k, int m){
     int i;
     if(k==m){
       for(i=0;i<=m;i++)
         printf("%d ",list[i]);
         printf("\\n");
         n++;
     } else {
       for(i=k;i<=m;i++){
         swap(&list[k],&list[i]);
         perm(list, k+1, m);
         swap(&list[k], &list[i]);
       }
     }
}       
int main(void){
    int list[]={1,2,3,4,5,6,7};
    perm(list,0,6);
    printf("total:%d\\n",n);return 0;
}

 

代码运行时流程如下：

1.只有k=6时才能够打印
2.递归到最深处时，k=6
3.利用循环使得k及其身后的数字两两相邻交换
4.弹出条件是k后面的数字都完成了相邻交换，也恢复了相对初状态
5.每次弹出后马上要做的就是恢复状态
6.不断回溯k重复上面的步骤


一开始 递归k直至进入6  打印初状态 1,2,3,4,5,6,7

回溯 k 到5 ，利用循环让 i=6 交换5,6 递归到底打印出来，弹出再把5,6换回来 回到初状态    打印：1,2,3,4,5,7,6    换回：1,2,3,4,5,6,7

回溯 k 到4 ，利用循环让 i=5 交换4,5 递归到底打印出来                    　　　　　　　　　　打印：1,2,3,4,6,5,7

弹出 k 到5 ，利用循环让 i=6 交换5,6 递归到底打印出来，弹出再把 5,6 换回来        　　　  打印：1,2,3,4,6,7,5    换回：1,2,3,4,6,5,7

弹出 k 为4 ，换回4和5，继续循环                                　　　　　　　　　　　　　　　　 换回：1,2,3,4,5,6,7

k=4 循环使得 i=6 交换4,6值，递归到底打印出来，                        　　　　　　　　　　　  打印：1,2,3,4,7,6,5    

弹出 k 到5 ，利用循环让 i=6 交换5,6 递归到底打印出来，弹出再把5,6换回来            　　　 打印：1,2,3,4,7,5,6    换回：1,2,3,4,7,6,5

弹出 k 到4 ，换回4,6，循环结束，完成任务继续回溯                   　　　　　　　　　　　   换回：1,2,3,4,5,6,7

以此类推。。。

 

下面是部分全排列截图