区间 dp

Posted 2020-10-06

 

以一个经典题目引入到正题 ：

　　有 n 堆石子 ， 每两堆石子合并会花费一定的价值，所花费的价值即为 两堆石子上的价值和 ， 问合并所有的石子后的最小花费 ？

 

思路分析 ：

　　因为题干可以看成是对每个区间的 的操作，找到问题的子问题 ， 即只有一堆石子， 即区间长度为 1 的情况 ，它并不要合并 ， 所以花费的代价为 0 ，当有两堆石子时 ， 区间长度为 2 ， 此时所花费的代价为 为两堆的和 ， 当区间长度为 3 时 ，此时分割区间 ， 会分成 1 个长度为 1 的区间 和一个长度为 2 的区间 ， 长度为 2 的区间所花费的代价在前面已经计算过 ， 并且也已经是最优的解 。

 

代码示例 ：

int sum[500];
int dp[230][230];

int main() {
    int n, x;
    
    while ( ~scanf("%d", &n)){
        memset(sum, 0, sizeof(sum));

        for(int i = 1; i <= n; i++){
            scanf("%d", &x);
            sum[i] = sum[i-1] + x;
        }
        memset(dp, 0, sizeof(dp));
        for(int l = 2; l <= n; l++) {  // l 表示区间的长度
            for(int i = 1; i <= n; i++){  // i 表示区间的始端
                int j = l + i - 1;　　// j 表示区间的尾端
                if (j > n) break;  // 此判断条件很重要 ， 可以优化很多 ， 当区间尾超过整个区间长度时 ， 即结束此层 for 
                dp[i][j] = 0x3f3f3f3f;
                for(int k = i; k < j; k++){
                    dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][k]+dp[k+1][j]+sum[j]-sum[i-1]);  // 对于每一刀切开的区间 ， 最终合并起来的区间还要加上整段区间合并的花费 
                }
            }
        }
        printf("%d\n", dp[1][n]);
    }

    return 0;
}