bzoj2751--[HAOI]2012容易题--组合（乘法原理）

Posted 2020-10-05 BK-Edwina

Description

为了使得大家高兴，小Q特意出个自认为的简单题（easy）来满足大家，这道简单题是描述如下：
有一个数列A已知对于所有的A[i]都是1~n的自然数，并且知道对于一些A[i]不能取哪些值，我们定义一个数列的积为该数列所有元素的乘积，要求你求出所有可能的数列的积的和 mod 1000000007的值，是不是很简单呢？呵呵！

Input

第一行三个整数n,m,k分别表示数列元素的取值范围，数列元素个数，以及已知的限制条数。
接下来k行，每行两个正整数x,y表示A[x]的值不能是y。

Output

一行一个整数表示所有可能的数列的积的和对1000000007取模后的结果。如果一个合法的数列都没有，答案输出0。

Sample Input

3 4 5
1 1
1 1
2 2
2 3
4 3

Sample Output

90

样例解释
A[1]不能取1
A[2]不能去2、3
A[4]不能取3
所以可能的数列有以下12种
  数列    积
2 1 1 1   2
2 1 1 2   4
2 1 2 1   4
2 1 2 2   8
2 1 3 1   6
2 1 3 2  12
3 1 1 1   3
3 1 1 2   6
3 1 2 1   6
3 1 2 2  12
3 1 3 1   9
3 1 3 2  18

HINT

数据范围

30%的数据n<=4,m<=10,k<=10

另有20%的数据k=0

70%的数据n<=1000,m<=1000,k<=1000

100%的数据 n<=109,m<=109,k<=105,1<=y<=n,1<=x<=m

题解：

　　首先假设如果k=0。

　　容易发现没有限制时，a[i]的每个位置都可以取1~n的任何一个数字，而因为a数组只有m个位置，所以显然此时

　　那如果k！=0，就代表a[i]的当前位置有限制数字时，它只能取1~n中限制数字以外的。

　　所以计算积时，a[i]贡献给ans的只有这么多。

　　于是我们先算出不被限制的位置的乘积，也就是  其中cnt表示总共有多少位置被限制了（cnt不一定等于k）

　　对于被限制的位置，我们判一下重，一个位置可能被多个数字限制。

　　最后被限制的和不被限制的相乘即为所求。

 1 #include<iostream>
 2 #include<cmath>
 3 #include<cstdio>
 4 #include<algorithm>
 5 #define ll long long
 6 using namespace std;
 7 const int mod=1000000007;
 8 const int maxn=100009;
 9 ll sum[maxn];
10 struct data
11 {
12     ll x,y;
13 }a[maxn];
14 bool cmp(data a1,data a2)
15 {
16     if(a1.x==a2.x)
17         return a1.y<a2.y;
18     else
19         return a1.x<a2.x;
20 }
21 int poww(int x,int y,int mod)
22 {
23     int ret=1;
24     while(y)
25     {
26         if(y&1)
27             ret=1ll*ret*x%mod;
28         x=1ll*x*x%mod;
29         y>>=1;
30     }
31     return ret;
32 }
33 int main()
34 {
35     ll ans=0;
36     int n,m,k;
37     cin>>n>>m>>k;
38     ll sgm=(1ll*n*(n+1)>>1)%mod;
39     for(int i=1;i<=k;i++)
40     {
41         cin>>a[i].x>>a[i].y;
42     }
43     sort(a+1,a+k+1,cmp);
44     int cnt=0;
45     for(int i=1;i<=k;i++)
46     {
47         if(a[i].x!=a[i-1].x)
48             sum[++cnt]=sgm;//判重
49         else
50         {
51             if(a[i].y==a[i-1].y)//防止多次减同一个限制条件
52             continue;
53         }
54         sum[cnt]=(sum[cnt]-a[i].y+mod)%mod;//减去被限制的数
55     }
56     ans+=poww(sgm,m-cnt,mod);
57     for(int i=1;i<=cnt;i++)
58     {
59         ans=(ans*sum[i]+mod)%mod;//乘上有限制的情况
60     }
61     cout<<ans<<endl;
62     return 0;
63 }

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