树形DP 树的最小支配集，最小点覆盖与最大独立集

Posted 2020-10-05 joeylee97

最小支配集：

从V中选取尽量少的点组成一个集合，让V中剩余的点都与取出来的点有边相连。

（点）

最小点覆盖：

从V中选取尽量少的点组成一个集合V1，让所有边(u,v)中要么u属于V1，要么v属于V1

（边）

最大独立集：

从V中选取尽量多的点组成一个集合，让这些点中间没有边项链，也就是说对于任何一条边，u,v不能同时属于集合V1.

 

1.贪心算法

首先选取一个点为根节点，求出所有节点对应的DFS序列，按照所得序列反向进行贪心，这样保证对于每个点来说，当子树都被处理过之后才会处理该节点

int p[MAXN];
bool select[MAXN];
int newpos[MAXN];
int now, n, m;
//最小支配集
int greedy1()
{
    bool s[MAXN] = { 0 };
    bool set[MAXN] = { 0 };
    int ans = 0;
    int i;
    for (i = n - 1; i >= 0; i--)
    {
        int t = newpos[p[t]];
        if (!s[t])
        {
            if (!set[p[t]])
            {
                set[p[t]] = true;
                ans++;
            }
            s[t] = s[p[t]] = s[p[p[t]]] = true;
        }
    }
    return ans;
}
//最小点覆盖
int greedy2()
{
    bool s[MAXN] = { 0 };
    bool set[MAXN] = { 0 };
    int ans = 0;
    for (int i = n - 1; i >= 1; i--)//不可以检查根节点,p[root] = root
    {
        int t = newpos[i];
        if (!s[t] && !s[p[t]])
        {
            set[p[t]] = true;
            ans++;
            s[t] = s[p[t]] = true;
        }
    }
}
//最大独立集
int greedy3()
{
    int ans = 0;
    bool s[MAXN] = { 0 };
    bool set[MAXN] = { 0 };
    for (int i = 1; i >= 0; i--)
    {
        int t = newpos[i];
        if (!s[t])
        {
            set[t] = true;
            ans++;
            s[t] = s[p[t]] = true;
        }
    }
    return ans;
}

2.树形DP

1.dp[i][0]: 表示点i属于支配集，并且以点i为根的子树都被覆盖了的情况下支配集中包含点最少的个数

2.dp[i][1] i不属于支配集，而且以i为根的子树都被覆盖而且i被其中不少于一个子节点覆盖情况下支配集所包含最少点的个数

3.dp[i][2] i不属于支配集，而且i为根的子树都被覆盖而且I没有被子节点覆盖的情况下支配集报验最少点的个数

 

对于第一情况，对子节点无限制

dp[i][0] = 1 + 西格玛min(dp[u][0],dp[u][1],dp[u][2]) p[u] = t

对于第二红情况， 如果i没有子节点那么dp[i][1] = INF,子节点必须被覆盖，所以和状态dp[i][2]无关的！

dp[i][1] = 西格玛min(dp[u][0],dp[u][1]) + inc

如果选取了某一个dp[u][0] inc = 0;

else inc = min(dp[u][0] - dp[u][1])

选取的时候注意如果全部选的都是dp[u][1]那父节点没办法被覆盖啦！所以判断一下

对于第三种情况,i不属于支配集，i的子树都被覆盖，说明i和i的儿子都不是支配集的！

dp[i][2] = 西格玛dp[u][1]

 

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<sstream>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<deque>
#include<iomanip>
#include<vector>
#include<cmath>
#include<map>
#include<stack>
#include<set>
#include<functional>
#include<fstream>
#include<memory>
#include<list>
#include<string>
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ULL;

#define N 31
#define INF 1000000009
#define eps 0.00000001
#define sf(a) scanf("%d",&a)
const int MAXN = 1e5 + 3;

int dp[MAXN][3];
int head[MAXN];
void DP(int u, int p)
{
    dp[u][2] = 0;
    dp[u][0] = 1;
    bool s = false;
    int sum = 0, inc = INF;
    int k;
    for (k = head[u]; k != -1; k = E[k].next)
    {
        int to = E[k].to;
        if (to == p)
            continue;
        DP(to, u);
        dp[u][0] += min(dp[to][0], dp[to][1], dp[to][2]);
        if (dp[to][0] < dp[to][1])
        {
            s = true;
            sum += dp[to][0];
        }
        else
        {
            sum += dp[to][1];
            inc = min(inc, dp[to][0] - dp[to][1]);
        }
        if (dp[to][1] != INF&&dp[u][2] != INF)
            dp[u][2] += dp[to][1];
        else
            dp[u][2] = INF;
    }
    if (inc == INF && !s)
        dp[u][1] = INF;
    else
    {
        dp[u][1] = sum;
        if (!s) dp[u][1] += inc;
    }
}

对于最小点覆盖

dp[u][0] u点被覆盖

dp[u][1] u点没被覆盖

int dp[MAXN][3];
int head[MAXN];
void DP(int u, int p)
{
    dp[u][0] = 1;
    dp[u][1] = 0;
    int k, to;
    for (k = head[u]; k != -1; k = E[k].next)
    {
        to = E[k].to;
        if (to == p)
            continue;
        DP(to, u);
        dp[u][0] += min(dp[to][0], dp[to][1]);
        dp[u][1] += dp[to][0];
    }
}