线性回归

Posted 2020-10-05

参考资料：Mastering Machine Learning with scikit-learn

• 广义线性回归模型之一元线性回归，多元线性回归和多项式回归—回归任务

回归问题的目标是预测出响应变量的连续值

• 一元线性回归

　　一元线性回归假设解释变量和响应变量之间存在线性关系

　　一元线性回归拟合模型的参数估计常用方法是普通最小二乘法（ordinary least squares ）或线性最小 二乘法（linear least squares）

• 带成本函数的模型拟合评估

　　成本函数（cost function）也叫损失函数（loss function），用来定义模型与观测值的误差。模型预测的价格与训练集数据的差异称为残差（residuals）或训练误差（training errors）。模型预测的价格与测试集数据的差异称为预测误差（prediction errors）或测试误差（test errors）。

　　模型的残差是训练样本点与线性回归模型的纵向距离，如下图所示：

　　通过残差之和最小化实现最佳拟合，也就是说模型预测的值与训练集的数据最接近就是最佳 拟合。对模型的拟合度进行评估的函数称为残差平方和（residual sum of squares）成本函数。就是 让所有训练数据与模型的残差的平方之和最小化，如下所示：

• 解一元线性回归的最小二乘法

　　通过成本函数最小化获得参数。按照频率论的观点，我们首先需要计算x 的方差和x 与 y的协方差。

　　方差是用来衡量样本分散程度的。如果样本全部相等，那么方差为0。方差越小，表示样本越集中， 反正则样本越分散。方差计算公式如下：

　　协方差表示两个变量的总体的变化趋势。如果两个变量的变化趋势一致，也就是说如果其中一个大于 自身的期望值，另外一个也大于自身的期望值，那么两个变量之间的协方差就是正值。 如果两个变 量的变化趋势相反，即其中一个大于自身的期望值，另外一个却小于自身的期望值，那么两个变量之 间的协方差就是负值。如果两个变量不相关，则协方差为0，变量线性无关不表示一定没有其他相关 性。协方差公式如下：

　　有了方差和协方差，就可以计算相关系统 β了

　　计算 α

　　这样就通过最小化成本函数求出模型参数了。

• 模型评估：R方（r-squared）

　　R方也叫 确定系数（coefficient of determination），表示模型对现实数据拟合的程度。

　　首先，计算样本总体平方和：

　　然后，计算残差平方和：

　　计算R方：
　　

　　R方表示可以由模型解释的数据集的比例。

• 多元线性回归

　　写成矩阵形式如下：

　　一元线性回归可以写成如下形式：

• 多项式回归

　　多项式回归可以用来构建非线性关系模型

　　二次回归（Quadratic Regression），即回归方程有个二次项，公式如下：

　　PolynomialFeatures转换器可以用来实现曲线关系

from sklearn.preprocessing import PolynomialFeatures 
quadratic_featurizer = PolynomialFeatures(degree=2) 
X_train_quadratic = quadratic_featurizer.fit_transform(X_train) 
X_test_quadratic = quadratic_featurizer.transform(X_test) 
regressor_quadratic = LinearRegression()
regressor_quadratic.fit(X_train_quadratic, y_train）

　　使用更高阶的多项式回归会出现过度拟合，这样的模型并没有从输入和输出中推导出一般的规律，而是记忆训练集的结果，这样在测试集的测试效果就不好了。

• 正则化

　　正则化（Regularization）是用来防止拟合过度的一种方法，就是用最简单的模型解释数据。

　　1.岭回归(Ridge Regression，RR， 也叫Tikhonov regularization)，通过放弃最小二乘法的无偏性，以损失部分信息、降低精度为代价获得回归系数更为符合实际、更可靠的回归方法。岭回归增加L2范数项来调整成本函数（残差平方和）：

　　λ是调整成本函数的超参数（hyperparameter），不能自动处理，需要手动调整一种参数。 λ增大，成本函数就变大。

　　2.最小收缩和选择算子(Least absolute shrinkage and selection operator, LASSO)，增加L1范数项来调整成本函数（残差平方和）：

　　LASSO方法会产生稀疏参数，大多数相关系数会变成0，模型只会保留一小部分特征。而岭回归还是 会保留大多数尽可能小的相关系数。当两个变量相关时，LASSO方法会让其中一个变量的相关系数 会变成0，而岭回归是将两个系数同时缩小。

　　3.弹性网（elastic net）正则化方法，通过线性组合L1和L2兼具LASSO和岭回归的内容。

• 梯度下降法拟合模型

　　前面的内容都是通过最小化成本函数来计算参数的：

　　这里X是解释变量矩阵，当变量很多（上万个）的时候， X^TX计算量会非常大。另外，如果X^TX 的行列式为0，即奇异矩阵，那么就无法求逆矩阵了。这里介绍另一种参数估计的方法，梯度下降法（gradient descent）。拟合的目标并没有变，还是用成本函数最小化来进行参数估计.

　　梯度下降法的一个重要超参数是步长（learning rate)

 　　如果按照每次迭代后用于更新模型参数的训练样本数量划分，有两种梯度下降法。批量梯度下降 （Batch gradient descent）每次迭代都用所有训练样本。随机梯度下降（Stochastic gradient descent，SGD）每次迭代都用一个训练样本，这个训练样本是随机选择的。当训练样本较多的时 候，随机梯度下降法比批量梯度下降法更快找到最优参数。批量梯度下降法一个训练集只能产生一个结果。而SGD每次运行都会产生不同的结果。SGD也可能找不到最小值，因为升级权重的时候只用 一个训练样本。它的近似值通常足够接近最小值，尤其是处理残差平方和这类凸函数的时候。

from sklearn.linear_model import SGDRegressor
regressor = SGDRegressor(loss=‘squared_loss‘)
regressor.fit_transform(X_train, y_train